Demi-groupe 3x+1

En algèbre et en arithmétique, le demi-groupe 3x + 1 est un sous-demi-groupe particulier du demi-groupe des nombres rationnels positifs. Les éléments d'un ensemble de générateurs de ce demi-groupe sont liés à la suite de nombres intervenant dans la conjecture connue sous le nom de conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz ou encore conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3x+1. Le demi-groupe 3x + 1 a été utilisé pour démontrer une forme faible de la conjecture de Collatz, et a été en fait introduit à ce propos par Hershel Farkas en 2005. Diverses généralisations du demi-groupe 3x + 1  ont ensuite été construites et étudiées.

Définition

Le demi-groupe 3x + 1 est le demi-groupe multiplicatif de nombres rationnels positifs engendré par les nombres rationnels

$2,1/2,3/5,5/8,7/11,\dots$

qui sont, en plus de l’entier 2, les nombres de la forme

$\frac{2k+1}{3k+2}$ pour $k\ge 0$.

Ce demi-groupe est relié à la fonction $T:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ des entiers relatifs définie par

$T(n)=\{\begin{array}{cc}n/2& \text{si }n\text{ est pair}\\ (3n+1)/2& \text{sinon. }\end{array}$

La conjecture de Syracuse affirme que, pour chaque entier positif n, une certaine itérée de la fonction T envoie n sur 1 ou, en d'autre termes, que T^(k)(n) = 1 pour un certain entier k. Par exemple, si n = 7, alors les valeurs de T^(k)(n) pour k = 1, 2, 3, . . . sont 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 et T⁽¹¹⁾(7) = 1.

Le demi-groupe 3x + 1 est relié à la conjecture de Collatz par le fait qu'il est engendré par les fractions

$\frac{n}{T(n)}$

pour $n>0$, puisque $T(2k+1)=3k+2$ et $T(2k)=k$.

La conjecture de Collatz faible

Notons S le demi-groupe 3x + 1. La conjecture de Collatz faible, énoncée par Farkas, affirme que le demi-groupe S contient tous les entiers positif. Le demi-groupe S a la propriété que si T(n) est dans S, alors n est dans S, parce que chaque n/T(n) est un générateur de S. Il en résulte que si un itéré de T(n) est égal à 1, alors n est dans S. Ainsi, la conjecture de Syracuse implique la conjecture faible. La conjecture faible a été démontrée par Applegate et Lagarias. Elle est une conséquence de la propriété suivante du demi-groupe S  : Modèle:Retrait

Le  demi-groupe sauvage (Modèle:Citation étrangère)

Le demi-groupe engendré par l’ensemble des fractions T(n)/n ou, de manière équivalente, par 1/2 et les nombres

$\frac{3k+2}{2k+1}$ pour $k\ge 0$

est appelé le demi-groupe sauvage (Modèle:Citation étrangère en anglais). Par le théorème d'Applegate et Lagarias, il est formé des entiers m tels que m ≠ 0 (mod 3). C'était la Modèle:Citation étrangère, maintenant démontrée.