Élimination de la disjonction

Modèle:À recycler En logique propositionnelle, lModèle:'élimination de la disjonctionModèle:, (parfois nommée preuve par cas, ou lModèle:'élimination du ou), est la forme d'argument valide et règle d'inférence qui permet d'éliminer une déclaration disjonctive d'une démonstration logique. Elle est l'inférence selon laquelle si une déclaration $P$ implique une déclaration $Q$, qu'une déclaration $R$ implique aussi $Q$, et que $P$ ou $R$ est vrai, alors $Q$ est vrai. Par exemple:

Si je suis à l'intérieur, j'ai mon portefeuille sur moi.

Si je suis à l'extérieur, j'ai mon portefeuille sur moi

Ceci est vrai que ce soit à l'intérieur ou à l'extérieur.

Par conséquent, j'ai mon portefeuille sur moi.

Cette règle peut être énoncée comme suit:

$\frac{P\to Q,R\to Q,P\vee R}{\therefore Q}$

où la règle est que chaque fois que les instances de «$P\to Q$ », et «$R\to Q$ » et « $P\vee R$ » apparaissent sur les lignes d'une démonstration, « $Q$ » peut être placé sur la ligne de conclusion.

Notation formelle

La règle de l'élimination de la disjonction peut être écrite en notation séquent:

$(P\to Q),(R\to Q),(P\vee R)⊢Q$

où $⊢$ est un symbole métalogique qui signifie que $Q$ est une conséquence syntaxique de $P\to Q$, et $R\to Q$ et $P\vee R$ dans un système logique;

et exprimée en tautologies ou en théorèmes de la logique propositionnelle :

$(((P\to Q)\wedge (R\to Q))\wedge (P\vee R))\to Q$

où $P$, $Q$, et $R$ sont des propositions exprimées dans un système formel.

Voir aussi

• Disjonction
• Forme normale disjonctive