Théorème de Friedlander-Iwaniec

John Friedlander

Henryk Iwaniec

En théorie des nombres, le théorème de Friedlander–Iwaniec affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $a^2+b^4$.

Voici ces nombres, en dessous de 1000 : 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977 (Modèle:OEIS).

La difficulté du résultat réside dans le caractère clairsemé de cette suite : le nombre d'entiers premiers de la forme $a^2+b^4$ plus petits que $n$ est de l'ordre de $n^{3/4}$.

Historique

Ce théorème a été prouvé en 1997 par John Friedlander et Henryk Iwaniec. Iwaniec a reçu en 2001 le prix Ostrowski en partie pour sa contribution à ce travail.

Cas particuliers

Quand Modèle:Math, les nombres premiers de Friedlander–Iwaniec sont de la forme $a^2+1$, et forment la suite :

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, …, Modèle:OEIS.

On conjecture que cette suite est infinie (c'est l'un des problèmes de Landau), ce qui ne résulte pas du théorème de Friedlander–Iwaniec.

Nombres de Friedlander–Iwaniec anecdotiques

$2017=44^2+3^4$ est un nombre premier de Friedlander-Iwaniec, ce qui n'était pas arrivé depuis $1777=39^2+4^4$, année de naissance de Gauss. L'antéprécédent est $1657=19^2+6^4$, année où Bernard Frénicle de Bessy publia la découverte du nombre taxicab $\text{Ta}(2)=1729$. Le précédent est alors $1601=40^2+1^4$, année de naissance de Fermat. Le prochain après 2017 est $2069=38^2+5^4$, année érotique selon Serge Gainsbourg et Jane Birkin.