Cofinalité

Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si :

pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ;

∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a $\le b$

La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A.

La cofinalité d'un ordinal limite $\alpha$ est le plus petit ordinal $\beta$ tel qu'il existe une fonction $f:\beta \to \alpha$ non majorée. Cet ordinal est usuellement noté $\mathrm{cof}(\alpha )$ ou $\mathrm{cf}(\alpha )$.

Intuitivement, $\mathrm{cof}(\alpha )$ est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de $\alpha$.

Par exemple, on peut aller au bout de ${\mathrm{\aleph }}_0$ en ${\mathrm{\aleph }}_0$ pas, avec la fonction identité, mais on ne peut pas aller au bout de ${\mathrm{\aleph }}_0$ en un nombre fini de pas. On a donc $\mathrm{cof}({\mathrm{\aleph }}_0)={\mathrm{\aleph }}_0$.

Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, ${\mathrm{\aleph }}_0$, est appelé cardinal régulier.

De même, on peut aller au bout de ${\mathrm{\aleph }}_1$ en ${\mathrm{\aleph }}_1$ pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dénombrable de pas. On a donc $cof({\mathrm{\aleph }}_1)={\mathrm{\aleph }}_1$ ; qui est donc aussi un cardinal régulier.

En revanche, on peut aller au bout de ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ en ${\mathrm{\aleph }}_0$ pas, avec la fonction $f:{\mathrm{\aleph }}_0\to {\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ définie par $f(n)={\mathrm{\aleph }}_n$, donc $cof({\mathrm{\aleph }}_{\omega })={\mathrm{\aleph }}_0$.

Un cardinal qui n'est pas régulier, c'est-à-dire qui n'est pas égal à sa cofinalité, comme ici ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ est appelé cardinal singulier.

Propriétés

Pour tout ordinal limite $\alpha$, on a les propriétés suivantes :

• $\mathrm{cof}(\alpha )$ existe ;
• $\mathrm{cof}(\alpha )$ est un cardinal ;
• $\mathrm{cof}(\alpha )$ est régulier, autrement dit $\mathrm{cof}(\mathrm{cof}(\alpha ))=\mathrm{cof}(\alpha )$ ;
• Si $\mathrm{X}\subset \alpha$ et $|\mathrm{X}|<\mathrm{cof}(\alpha )$ alors $\mathrm{X}$ est borné ;
• si $\beta$ est un ordinal limite, alors $\mathrm{cof}({\mathrm{\aleph }}_{\beta })=\mathrm{cof}(\beta )$ ; par exemple, $\mathrm{cof}({\mathrm{\aleph }}_{{\mathrm{\aleph }}_1})=\mathrm{cof}({\mathrm{\aleph }}_1)={\mathrm{\aleph }}_1$.

Pour tout cardinal infini $\kappa$, on a les propriétés suivantes :

• $\kappa <{\kappa }^{\mathrm{cof}(\kappa )}$, c'est une conséquence du théorème de König ;
• pour tout cardinal $\lambda$, $\mathrm{cof}({\lambda }^{\kappa })>\kappa$ ; pour $\lambda =2$ et $\kappa ={\mathrm{\aleph }}_0$, on obtient $\mathrm{cof}(2^{{\mathrm{\aleph }}_0})>{\mathrm{\aleph }}_0$, on a donc en particulier $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ne {\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ ; ceci est également une conséquence du théorème de König.

La cofinalité des cardinaux permet de mettre en évidence certaines différences de comportements. Par exemple, vis-à-vis de l'exponentiation cardinale, Modèle:Lien a essentiellement prouvé que, pour les cardinaux réguliers, les seules contraintes prouvables dans $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}$ sur la fonction $f(\kappa )=2^{\kappa }$ sont $\kappa \le \lambda \Rightarrow f(\kappa )\le f(\lambda )$ et $\mathrm{cof}(f(\kappa ))>\kappa$. Pour les cardinaux singuliers, la situation est différente. Notamment, Modèle:Lien a démontré que si $\kappa$ est singulier et de cofinalité non dénombrable, et si pour tout $\lambda <\kappa$, $2^{\lambda }={\lambda }^{+}$ alors $2^{\kappa }={\kappa }^{+}$.

Généralisations

On peut généraliser la notion de cofinalité à n'importe quel ensemble préordonné : si $(A,\le )$ est un ensemble préordonné, la cofinalité de $\mathrm{A}$ est le plus petit cardinal d'une partie $\mathrm{B}$ cofinale dans $\mathrm{A}$, c'est-à-dire telle que pour tout $a\in \mathrm{A}$ il existe $b\in \mathrm{B}$ tel que $a\le b$.

Par exemple, si $\mathrm{A}$ est l'ensemble des fonctions de $\omega$ dans lui-même muni du préordre ${\le }^{*}$ défini par $f{\le }^{*}g$ si et seulement si $f(n)\le g(n)$ pour tout entier $n$ à partir d'un certain rang, alors la cofinalité de ce préordre, noté généralement $𝔡$ et appelé le nombre dominant (Modèle:Lang-en), est un cardinal compris entre ${\mathrm{\aleph }}_1$ et $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$, mais sa valeur exacte ne peut pas être déterminée dans l'axiomatique usuelle de la théorie des ensembles, ZFC.

La Modèle:Lien, introduite par Saharon Shelah, étudie les cofinalités possibles des ultraproduits de certains ensembles ordonnés. Cela lui a permis de démontrer de nouvelles inégalités sur l'exponentiation cardinale, comme par exemple, ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }^{{\mathrm{\aleph }}_0}\le 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}+{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_4}$.

Références

Modèle:Portail