Théorème de Routh

En géométrie euclidienne, le théorème de Routh exprime le rapport entre l'aire d'un triangle et celle du triangle formé par trois céviennes.

Énoncé

Soit un triangle Modèle:Mvar. Trois céviennes issues des trois sommets coupent les côtés opposés en $D,E,F$, et découpent un triangle Modèle:Mvar.

Si l'on pose : $x=\frac{\overline{DC}}{\overline{DB}}$, $y=\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}}$, $z=\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}}$, alors les aires des triangles orientés $ABC$ et $PQR$ sont reliées par la formule : $S_{PQR}=S_{ABC}\times \frac{(xyz-1{)}^2}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}$

Théorème de Routh

• Remarque : si les céviennes sont concourantes, l'aire du triangle est nulle, et l'on retrouve le théorème de Ceva (Modèle:Math).
• Application : si Modèle:Math, le rapport est de Modèle:Sfrac, triangle central du partage du triangle en sept triangles de même aire.

Démonstration

Dans le cas où le triangle $PQR$ est intérieur au triangle $ABC$, on applique le théorème de Ménélaüs au triangle Modèle:Mvar, coupé par la droite (Modèle:Mvar) : $\frac{FA}{FB}\times \frac{CB}{CD}\times \frac{QA}{QD}=1$. D'où $\frac{QA}{QD}=\frac{FB}{FA}\times \frac{CD}{CB}=\frac{zx}{x+1}$.

L'aire du triangle Modèle:Mvar vaut $S_{AQC}=\frac{AQ}{AD}\times S_{ADC}=\frac{AQ}{AD}\times \frac{DC}{BC}\times S_{ABC}=\frac{x}{zx+x+1}\times S_{ABC}$

Par permutation circulaire, on obtient $S_{APB}=\frac{y}{xy+y+1}{S}_{ABC}$ et $S_{BRC}=\frac{z}{yz+z+1}{S}_{ABC}$ .

L'aire du triangle Modèle:Mvar vaut donc : $S_{PQR}=S_{ABC}-S_{AQC}-S_{APB}-S_{BRC}=S_{ABC}\times (1-\frac{x}{zx+x+1}-\frac{y}{xy+y+1}-\frac{z}{yz++1})$

Ou encore $S_{PQR}=S_{ABC}\times \frac{(xyz-1{)}^2}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}$.

Une démonstration utilisant les coordonnées barycentriques et les déterminants permet d'avoir le cas général.

Origine

Ce théorème porte le nom du mathématicien anglais Edward Routh, professeur à l'université de Cambridge, plus connu pour ses travaux sur la stabilité des systèmes d'équations différentielles (cf. le critère de Routh-Hurwitz).

Routh donne ce théorème en 1891 dans A Treatise of Analytical Statics, puis le reprend dans son édition de 1896, édition plus répandue à laquelle les mathématiciens se réfèrent.

Cependant, ce problème apparaît dès 1879 dans Solutions of the Cambridge Senate-House Problems and Riders for the year 1878, recueil d'exercices et de problèmes mathématiques destiné aux étudiants de Cambridge. La correction, donc la preuve du théorème, est due à J. W. L. Glaisher.

Autres démonstrations

Ce problème a donné lieu à de nombreuses démonstrations, dont on trouvera des exemples et une bibliographie dans l'article de Murray S. Klamkin et A. Liu " Three more Proofs of Routh's Theorem" dans Crux Mathematicorum, Modèle:Date-, pages 199 et suivantes.

En 2011, Ayoub B. Ayoub publie une nouvelle preuve dans l'article "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum .

Bibliographie

• Modèle:Article.
• H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, énoncé p. 211, démonstration pp. 219–20, 2nd édition, Wiley, New York.
• Modèle:Article
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Modèle:MathWorld
• Routh’s Formula by Cross Products sur MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.