Moments de Hausdorff

Modèle:Article principal En mathématiques, le problème des moments de Hausdorff est celui des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une suite (mModèle:Ind) de réels soit la suite des moments

$m_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{n}d\mu (x)$

d'une mesure de Borel $\mu$ sur le segment [0, 1].

Le nom du problème est associé au mathématicien allemand Felix Hausdorff.

Dans le cas m₀ = 1, ceci équivaut à l'existence d'une variable aléatoire réelle X dans l'intervalle [0, 1] telle que pour tout n, l'espérance de XModèle:Exp soit égale à m_n.

Ce problème est voisin du problème des moments de Stieljes défini sur l'intervalle $[0,\mathrm{\infty }[$, celui de Toeplitz sur $\{t\in ℂ\mid \left|t\right|=1\}$ et celui de Hamburger sur $ℝ$ mais à la différence de ceux-ci, la solution, si elle existe, est unique.

Il a été étendu aux espaces bidimensionnels et aux suites tronquées.

Séries monotones

Hausdorff a montréModèle:, qu'il existe une solution $\mu$ si et seulement si la suite (mModèle:Ind) est complètement monotone, c'est-à-dire si ses suites de différences satisfont

$(-1{)}^k({\mathrm{\Delta }}^{k}m{)}_n\ge 0$

pour tout n, k ≥ 0, où Δ est l'opérateur différence finie donné par

$(\mathrm{\Delta }m{)}_n=m_{n+1}-m_n.$

Une telle condition est nécessaire, en effet

$(-1{)}^k({\mathrm{\Delta }}^{k}m{)}_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(1-x{)}^k\mathrm{d}\mu (x)\ge 0$.

Par exemple

${\mathrm{\Delta }}^4{m}_6=m_6-4m_7+6m_8-4m_9+m_{10}=\int x^6(1-x{)}^4\mathrm{d}\mu (x)\ge 0$.

L'unicité de $\mu$ se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass : Modèle:Démonstration

Suite tronquée

Les problèmes d'approximation en physique conduisent à l'usage de suites tronquées $(m_0,m_1,...,m_p)$. Dans ce cas, si l'on définit les matrices de Hankel suivantes

$A_k={\left(m_{(i+j)}\right)}_{i,j=0}^k,B_k={\left(m_{(i+j+1)}\right)}_{i,j=0}^k,C_k={\left(m_{(i+j)}\right)}_{i,j=1}^k$

la condition nécessaire et suffisante d'existence sur $[a,b]$ est

• pour $p=2k$

$A_k\ge 0\text{et}(a+b)B_{k-1}\ge ab{A}_{k-1}+C_k$

• pour $p=2k+1$

$b{A}_k\ge B_k\ge a{A}_k.$

Voir aussi

Ouvrages

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Méthode des moments (physique statistique)