Problème d'empilage de blocs

Fichier:Block stacking problem.svg

Les huit premiers blocs de la solution du problème d'empilement de blocs de même largeur, avec surplombs indiqués.

En statique (et en mathématiques récréatives), le problème d'empilage de blocs (aussi le problème d'empilage de livres, ou d'autres dénominations similaires) est une devinette concernant l'empilage possible de blocs sur le bord d'une table. Au lieu d'empilements de blocs, on rencontre aussi des étalements de cartes à jeux.

Description

Le problème d'empilement de blocs est le puzzle suivant :

Comment poser

$N$

blocs rectangulaires et rigides sur le bord d'une table de manière à maximiser le surplomb.

Historique

Un empilement de pièces de monnaie ; la pièce du haut est entièrement hors de la région au-dessus de la pièce la plus basse.

Le problème d'empilement de blocs a une longue histoire, à la fois en mécanique et comme problème de récréation mathématique. Dans leurs articles Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn, Paterson et ses coauteurs fournissent une longue liste de références sur ce problème qui est traité dans des écrits de mécanique remontant jusqu'au milieu du Modèle:S-. Il fait aussi partie sous une autre forme des récréations mathématiques étudiées par Martin GardnerModèle:SfnModèle:, par exemple.

Variantes

Empilage simple

Dans le modèle à empilage simple (single-wide problem), il y a un seul bloc à chaque niveau. Quand les blocs sont tous identiques et rectangulaires, le surplomb maximal $d_N$ pour $N$ blocs estModèle:Sfn

$d_N=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\frac{1}{i}=\frac{1}{2}{H}_N$.

C'est la moitié de la somme partielle de la série harmonique. Les premiers termes sont :

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$d_N$	1/2	3/4	11/12	25/24	137/120	49/40	363/280	761/560	7129/5040

Ces nombres forment les suites Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS. Comme la série harmonique diverge, le surplomb maximum tend vers l'infini avec $N$, ce qui signifie que l'on peut réaliser des surplombs arbitrairement grands à condition d'empiler un nombre suffisant de blocs. Asymptotiquement, le surplomb maximal est

$\frac{1}{2}\ln N$.

Empilage multiple

Fichier:Block stacking problem compare 3.svg

Comparaison de l’empilement simple (en haut) et de l'empilement multiple (en bas) avec 3 blocs.

Empilage surplombant maximal avec 20 blocs identiques.

Lorsque l'on utilise plusieurs blocs à chaque niveau le contrepoids intervient pour permettre de réaliser des surplombs plus grands. Déjà avec trois blocs, deux blocs au dessus du premier niveau peuvent se contrebalancer et donnent un surplomb de 1, alors que dans le cas simple, le surplomb est au plus 11/12. Paterson et Zwick, puis Paterson, Peres, Winkler et ZwickModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ont montré le surplomb maximal que l'on peut atteindre est asymptotiquement

$c\sqrt[3]{N}$

ce qui contraste avec le cas simple où le surplomb est proportionnel au logarithme du nombre de blocs. Pour des petits nombres de blocs, il existe des solutions plus optimalesModèle:Sfn.

Robustesse

Modèle:Harvsp étudie le problème de l'empilement en tenant compte de contraintes physiques, telles la robustesse des matériaux, les coins éventuellement arrondis, la précision du placement des blocs, et introduit certaines variantes comme des forces de frottement non nulles entre des blocs adjacents.

Bibliographie

• Modèle:Article.
• Modèle:Article — Une première version est parue dans Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.

Lien externe

• Modèle:MathWorld