Inégalité de Bousquet

L'inégalité de Bousquet est une inégalité de concentration du supremum d'une somme de variables indexé par un ensemble quelconque établie par Bousquet. Ce résultat ressemble à l'inégalité de Bennett et donne la déviation du supremum d'un processus empirique par rapport à sa moyenne.

Énoncé

On peut retrouver les énoncés dans l'article de Bousquet ou le livre de Boucheron, Lugosi et Massart. Soient

$X_{1,s},\dots ,X_{n,s}$

des variables aléatoires réelles i.i.d. indexés par

$s\in T$

. On suppose que les variables sont centrées et majorées par 1, i.e.

$𝔼[X_{i,s}]=0$

et

$|X_{i,s}|\le 1$

pour tout

$i=1,\dots ,n$

et

$s\in T$

. On note

$Z=\underset{s\in T}{\sup }\sum _{i=1}^n{X}_{i,s}$

. Alors pour tout

$\lambda ,t\ge 0$

,

$\begin{array}{cc}\log 𝔼e^{\lambda (Z-𝔼Z)}& \le v\varphi (\lambda )\\ \mathbb{P}(Z\ge 𝔼Z+t)& \le e^{-vh(t/v)}\end{array}$

où

$\varphi (u)=e^u-u-1,h(u)=(1+u)\log (1+u)-u$

pour

$u\ge -1$

,

$v=2𝔼Z+{\sigma }^2$

avec

${\sigma }^2=\underset{s\in T}{\sup }\sum _{i=1}^n𝔼X_{i,s}^2$

. En optimisant la fonction

$h$

, on obtient en particulier

$\mathbb{P}(Z\ge 𝔼Z+t)\le \exp (-\frac{t^2}{2(v+t/3)})$