Théorème de Cohen-Seidenberg

En mathématiques, en théorie des anneaux, le théorème de Cohen-Seidenberg est un outil important permettant de manipuler des idéaux ou des chaînes d'idéaux dans les extensions d'anneaux. Il s'agit en fait de deux résultats, appelés théorèmes de montée et de descente (souvent en anglais : going-up et going-down), dus aux mathématiciens américains Irvin Cohen et Modèle:Lien qui les ont initialement établis en 1946 dans le cas commutatif, bien que leur application soit plus générale. En géométrie algébrique, ces résultats prennent une interprétation nouvelle et facilitent notamment l'étude de la topologie des schémas. C'est enfin un élément essentiel pour développer la théorie de la dimension algébrique.

Contexte

On considère un anneau commutatif Modèle:Mvar et une extension d'anneau Modèle:Math. Le théorème porte sur les idéaux premiers de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. On considère quatre situations :

1. On dit que Modèle:Math est « au-dessus » si pour tout idéal premier $𝔭$ de Modèle:Mvar, il existe un idéal premier $𝔮$ de Modèle:Mvar tel que $𝔮\cap A=𝔭$. On peut représenter cette situation de la manière suivante :$$\begin{array}{cc}& 𝔮\in \mathrm{Spec}B\\ & \downarrow \\ & 𝔭\in \mathrm{Spec}A\end{array}$$
2. On dit que Modèle:Math est « incomparable » si pour tous idéaux premiers $𝔮\ne {𝔮}^{\prime }$ de Modèle:Mvar, satisfaisant $𝔮\cap A={𝔮}^{\prime }\cap A=𝔭$ pour un certain idéal premier $𝔭$ de Modèle:Mvar, on a $𝔮⊈{𝔮}^{\prime }$ et $𝔮⊉{𝔮}^{\prime }$. Schématiquement,$$\begin{array}{cc}& 𝔮\Vert {𝔮}^{\prime }\\ & \searrow \swarrow \\ & 𝔭\end{array}$$
3. On dit que Modèle:Math possède la « propriété de montée » si, pour toutes chaînes croissantes d'idéaux ${𝔭}_i$ de Modèle:Mvar et ${𝔮}_i$ de Modèle:Mvar telles que ${𝔮}_i\cap A={𝔭}_i$, on peut compléter la chaîne d'idéaux de Modèle:Mvar pour qu'elle soit aussi longue que celle de Modèle:Mvar, tout en maintenant que ${𝔮}_i\cap A={𝔭}_i$ dans la chaîne étendue. Schématiquement,$$\begin{array}{cc}& {𝔮}_1\subseteq {𝔮}_2\subseteq \cdots \subseteq {𝔮}_m\\ & \downarrow \downarrow \downarrow \\ & {𝔭}_1\subseteq {𝔭}_2\subseteq \cdots \subseteq {𝔭}_m\subseteq \cdots \subseteq {𝔭}_n\end{array}\Rightarrow \begin{array}{cc}& {𝔮}_1\subseteq {𝔮}_2\subseteq \cdots \subseteq {𝔮}_m\subseteq \cdots \subseteq {𝔮}_n\\ & \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \\ & {𝔭}_1\subseteq {𝔭}_2\subseteq \cdots \subseteq {𝔭}_m\subseteq \cdots \subseteq {𝔭}_n\end{array}$$
4. On dit que Modèle:Math possède la « propriété de descente » si, pour toutes chaînes décroissantes d'idéaux, on peut également compléter une chaîne d'idéaux de Modèle:Mvar pour qu'elle ait la même longueur que celle de Modèle:Mvar et qu'elle satisfasse ${𝔮}_i\cap A={𝔭}_i$. Schématiquement,$$\begin{array}{cc}& {𝔮}_1\supseteq {𝔮}_2\supseteq \cdots \supseteq {𝔮}_m\\ & \downarrow \downarrow \downarrow \\ & {𝔭}_1\supseteq {𝔭}_2\supseteq \cdots \supseteq {𝔭}_m\supseteq \cdots \supseteq {𝔭}_n\end{array}\Rightarrow \begin{array}{cc}& {𝔮}_1\supseteq {𝔮}_2\supseteq \cdots \supseteq {𝔮}_m\supseteq \cdots \supseteq {𝔮}_n\\ & \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \\ & {𝔭}_1\supseteq {𝔭}_2\supseteq \cdots \supseteq {𝔭}_m\supseteq \cdots \supseteq {𝔭}_n\end{array}$$

La propriété de montée implique notamment la propriété d'être au-dessus. Ces propriétés peuvent également être définies dans le cas non commutatif, mais il faut alors distinguer les idéaux à gauche des idéaux à droite.

Théorèmes de montée et de descente

Le théorème de Cohen-Seidenberg montre alors les faits suivants :

• (Montée) Si Modèle:Mvar est une extension entière de Modèle:Mvar, alors Modèle:Mvar satisfait les propriétés de montée (donc aussi d'être au-dessus) et d'incomparabilité.
• (Descente) Si Modèle:Mvar est une extension plate de Modèle:Mvar, alors Modèle:Mvar possède toutes les propriétés mentionnées : descente, montée (et au-dessus), incomparabilité.

Dans le cas d'une extension entière, on a aussi la propriété de descente (en plus de la montée et de l'incomparabilité) si de plus Modèle:Mvar ne possède pas de diviseur de zéro et Modèle:Mvar est intégralement clos.

En termes schématiques, dire que Modèle:Mvar est une extension entière de Modèle:Mvar revient à dire que $\mathrm{Spec}(B)\to \mathrm{Spec}(A)$ est fermée, de sorte que le théorème de montée revient à dire que l'application $\mathrm{Spec}(B/𝔮)\to \mathrm{Spec}(A/𝔭)$ est surjective. De même, si Modèle:Math a la propriété de descente et est de type fini, $\mathrm{Spec}(B)\to \mathrm{Spec}(A)$ est ouverte. Ainsi ce théorème possède également une interprétation géométrique.

Conséquences sur la dimension

Du théorème de Cohen-Seidenberg on tire beaucoup de conséquences utiles sur les extensions entières, en particulier sur leur dimension. Si Modèle:Mvar est une extension entière de Modèle:Mvar, on a notamment les corollaires suivants :

• Modèle:Math (c'est pour montrer ce résultat que Cohen et Seidenberg ont prouvé le théorème) ;
• si un élément de Modèle:Mvar possède un inverse dans Modèle:Mvar, alors cet inverse appartient à Modèle:Mvar (donc si Modèle:Mvar est un corps, alors Modèle:Mvar est un corps).

Une autre conséquence classique de ce théorème est que la dimension de $k[x_1,\dots ,x_n]$ est Modèle:Mvar.

Enfin, le théorème de descente permet, lorsqu'il s'applique, de montrer que pour tout idéal $𝔮$ de Modèle:Mvar, la restriction préserve la hauteur : $\mathrm{ht}(𝔮)=\mathrm{ht}(𝔮\cap A)$.