Équation xʸ=yˣ

En général, l'exponentiation n'est pas commutative. Cependant, l'équation $x^{y} = y^{x}$ tient dans des cas particuliers, tels que $x = 2, y = 4 .$

Histoire

L'équation $x^{y} = y^{x}$ est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (Modèle:Date-). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec $x \neq y,$ les seules solutions d'entiers naturels sont $(2, 4)$ et $(4, 2),$ bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels. La réponse de Goldbach (Modèle:Date-) contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant $y = v x$ . Une solution similaire a été trouvée par Euler.

J. van Hengel a souligné que si $r, n$ sont des entiers positifs avec $r \geq 3$ alors $r^{r + n} > (r + n)^{r};$ il suffit donc d'envisager les possibilités $x = 1$ et $x = 2$ afin de trouver des solutions entières.

Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition^[1] qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques^[2].

Solutions réelles positives

Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par $x = y$ .

Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant $x \neq y$ et en posant $y = v x$ . Ainsi,

(v x)^{x} = x^{v x} = (x^{v})^{x} .

En élevant les deux côtés à la puissance $\frac{1}{x}$ et en divisant par $x$ ,

v = x^{v - 1} .

Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont

x = v^{\frac{1}{v - 1}},

y = v^{\frac{v}{v - 1}} .

Avec $v = 2$ ou $v = \frac{1}{2}$ cela génère les solutions non-triviales entières, $4^{2} = 2^{4}$ .

Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque $v = 1$ . Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite $v \to 1$ . Ceci est fait en remplaçant $v = 1 + 1 / n$ avec $n \to \infty$ , ainsi