M-tuplet diophantien

Modèle:Titre mis en forme Un m-tuplet diophantien est, en théorie des nombres, un ensemble d'entiers naturels $\{a_1,a_2,a_3,a_4,\dots ,a_m\}$ tel que $a_i{a}_j+1$ est un carré parfait pour tout $1\le i<j\le m$. Un ensemble de m nombres rationnels positifs où le produit de deux d'entre eux plus un est toujours un carré rationnel est dit m-tuplet diophantien rationnel.

Il existe des m-tuplets diophantiens pour m allant jusqu'à 4, mais il n'existe pas de quintuplets diophantiens.

m-tuplets diophantiens entiers

Le premier quadruplet diophantien a été trouvé par Fermat : $\{1,3,8,120\}$. Il a été prouvé en 1969 par Baker et Davenport qu'un cinquième entier ne peut pas être ajouté à cet ensemble. Cependant, Euler a été en mesure d'étendre cet ensemble en ajoutant le nombre rationnel $\frac{777480}{8288641}$.

La question de l'existence de quintuplets diophantiens (entiers) était l'un des plus anciens problèmes non résolus de la théorie des nombres. En 2004, Andrej Dujella a montré qu'il existe au plus un nombre fini de quintuplets diophantiens. En 2016, l'inexistence de quintuplets diophantiens est prouvée par He, Togbé et Ziegler.

Le cas rationnel

Diophante a trouvé le quadruplet diophantien rationnel $\{\frac{1}{16},\frac{33}{16},\frac{17}{4},\frac{105}{16}\}$. Plus récemment, Philip Gibbs a trouvé des ensembles de six rationnels positifs formant des sextuplets rationnels. On ne sait pas s'il existe des m-uplets diophantiens rationnels plus grands, ou s'il existe une borne supérieure, mais il est connu qu'aucun ensemble infini n'est m-tuplet diophantien.

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