Théorème de Sokhotski–Plemelj

Le théorème de Sokhotski–Plemelj en analyse complexe permet l'évaluation d'intégrales de Cauchy. Il a été démontré par Julian Sokhotski en 1873 et redécouvert par Joseph Plemelj en 1908 dans sa résolution du Modèle:Lien.

Le théorème

Soit C un contour fermé régulier du plan et f une fonction analytique sur C. L'intégrale de Cauchy

$\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}\mathrm{d}\xi$

définit deux fonctions analytiquesModèle:, :

- à l'intérieur du domaine défini par C	${\mathrm{\Phi }}_{+}(z)=\frac{1}{2\pi i}\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{C}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}\mathrm{d}\xi +\frac{1}{2}f(z)$
- hors de ce domaine	${\mathrm{\Phi }}_{-}(z)=\frac{1}{2\pi i}\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{C}{\int }\frac{f(\xi )}{\xi -z}\mathrm{d}\xi -\frac{1}{2}f(z)$

On peut ainsi résoudre les problèmes où l'on impose sur C :

- un saut	$f_{+}-f_{-}=\varphi$
- une valeur	$f=\varphi$
- une relation du type	$f_{+}=g{f}_{-}$

Ce dernier cas constitue le problème de Riemann-Hilbert.

Cas particulier

Modèle:Voir aussi Soit f une fonction à valeurs complexes définie et continue sur l'axe réel, et soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux valeurs réelles telles que Modèle:Mvar < 0 <  Modèle:Mvar. Alors

$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x)}{x\pm i\epsilon }dx=\frac{1}{2\pi i}\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx\mp \frac{1}{2}f(0)$

Un exemple en physique

En mécanique quantique et théorie quantique des champs on doit évaluer des intégrales du type :

$I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(E)e^{-iEt}\mathrm{d}t\mathrm{d}E$

où E est une énergie et t le temps. Cette intégrale en temps ne converge pas et on la remplace par :

$I=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(E)e^{-iEt-\epsilon t}\mathrm{d}t\mathrm{d}E$

Par application du cas particulier ci-dessus du théorème

$I=-i\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(E)}{E-i\epsilon }dE=\pi f(0)-i\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(E)}{E}dE,$

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

• Transformée de Hilbert