Conjecture de Cercignani

La conjecture de Cercignani est une conjecture proposée par Carlo Cercignani qui postule une inégalité entre entropie et production d'entropie destinée à estimer la convergence vers l'équilibre thermodynamique des gaz.

Description du milieu gazeux à l'échelle microscopique

Il existe trois modes de description pour un ensemble de particules dans un volume de gaz isolé :

• la description newtonienne de toutes les particules par l'équation de Liouville portant sur la description d'un système classique constitué de N particules est donné par l'évolution de la fonction de distribution

$f_N=f_N({𝐪}_1\dots {𝐪}_N,{𝐩}_1\dots {𝐩}_N,t)$

où les vecteurs q_i sont les coordonnées généralisées du système et les p_i les quantités de mouvement de chaque particule : il y a donc 6N variables dans un espace tridimensionnel.

Ce système est réversible : on peut lui appliquer le théorème de récurrence de Poincaré ;

• l'équation de Boltzmann portant sur la description statistique de l'état d'une particule quelconque représentant l'ensemble des particules, non distinguables

$f=f(𝐪,𝐩,t)$

Pour des raisons de simplicité le second membre quadratique de l'équation de Boltzmann est souvent remplacé par un terme linéaire (par exemple en utilisant la méthode de Bhatnagar-Gross-Krook, en abrégé méthode BGK), ce qui ne change pas le fond du problème.

Le théorème H établit l'irréversibilité de ce système dont on montre qu'il admet des solutions infinies aux temps longs. Cette contradiction avec la description newtonienne a fait l'objet d'une controverse historique entre Boltzmann, Loschmidt, Poincaré et Zermelo.

• la description de type « marcheur aléatoire » où l'on suit une particule soumise à un processus stochastique, ce qui conduit à une équation de diffusion, par nature irréversible.

On passe de l'équation de Boltzmann à l'équation de diffusion par quelques manipulations assez simples, ce qui ne pose pas de problème, au contraire du passage de la description newtonienne à l'équation de Boltzmann par la hiérarchie BBGKY ou celle de Boltzmann en utilisant le modèle d'interaction sphères dures de diamètre d et la loi d’échelle de Boltzmann-Grad à nombre de collisions constant

$N\to \mathrm{\infty },r\to 0^{+},N{d}^2=C^{ste}$

Ce passage à la limite est à l'origine d'une perte de réversibilité, en même temps que la perte d'information sur le système en passant d'un espace de dimension 6N à un espace de dimension 3.

Conjecture de Cercignani

Convergence vers l'équilibre thermodynamique

On se place dans le cas d'un milieu homogène constitué de particules d'un gaz parfait dont l'équilibre thermodynamique correspond à la loi de distribution des vitesses de Maxwell f_eq (v). Ce système obéit à l'équation de Boltzmann

$\frac{\partial }{\partial t}f(𝐯,t)=Q(f,f)(𝐯,t)$

où Q (f, f) est l'opérateur de collision quadratique auquel on peut substituer l'opérateur BGK $B(f)(𝐯,t)$.

La fonction H de Boltzmann (l'opposée de l'entropie) vaut

$\mathrm{H}(f)=\int f(𝐯)\log f(𝐯)\mathrm{d}𝐯$

C'est une fonction qui décroît de façon monotone.

La distance de l'état courant défini par f (v) à l'état final est mesurée par la divergence de Kullback-Leibler

$D(f)=\int f(𝐯)\log \left(\frac{f(𝐯)}{f_{eq}(𝐯)}\right)\mathrm{d}𝐯=\mathrm{H}(f)-\mathrm{H}(f_{eq})\ge 0$

La production de H est donnée par

$P(f)=-\int \frac{\partial }{\partial t}f(𝐯,t)\log f(𝐯)\mathrm{d}𝐯=-\int Q(f,f)(𝐯)\log f(𝐯)\mathrm{d}𝐯\ge 0$

Cette quantité est positive ou nulle. Elle est nulle si et seulement si f = f_eq.

En dérivant D (f) par rapport à t on voit que la « vitesse » de convergence vers l'équilibre est proportionnelle à la production d'entropie

$\frac{\mathrm{d}D(f)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{H}(f)}{\mathrm{d}t}=-P(f)$

Conjecture

La conjecture de Cercignani s'exprime par l'inégalité

$P(f)\ge \lambda D(f),\lambda >0$

où le coefficient λ ne dépend que de Q.

En appliquant cette hypothèse à l'équation de convergence on voit que

$D(f)\le D(f_0)e^{-\lambda t}$

où f₀ est l'état initial. f converge au moins aussi vite qu'une exponentielle.

Divers exemples ont montré que cette conjecture était fausse en l'état. Des travaux encore actuels se focalisent sur la nature du coefficient λ et sa dépendance aux autres paramètres du problème comme le potentiel d'interaction ou les conditions initiales (propriétés de f₀). En suivant Cédric Villani on peut dire que « cette conjecture est souvent vraie et toujours presque vraie ».

Voir aussi

• Théorème de Sanov