Attracteur d'Ikeda

Attracteur d'Ikeda.

L'attracteur d'Ikeda est un système dynamique à temps discret, caractérisé par la relation de récurrence :

$z_{n+1}=A+B{z}_n{e}^{iK/(|z_n{|}^2+1)+C}$.

Il a été proposé en 1979 par le physicien japonais Kensuke Ikeda pour décrire la propagation de la lumière à travers une cavité optique non linéaire.

La relation de récurrence est souvent utilisée sous la forme :

$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=1+u(x_n\cos {\theta }_n-y_n\sin {\theta }_n)\\ y_{n+1}=u(x_n\sin {\theta }_n+y_n\cos {\theta }_n)\end{array}$

où $u\in ℝ$ est un paramètre et ${\theta }_n=0.4-\frac{6}{1+x_n^2+y_n^2}$.

Lorsque $u⩾0.6$, le système a un comportement chaotique.

Trajectoires

Les graphes ci-dessous représentent la trajectoire de 200 points, pour différentes valeurs du paramètre $u$. Le graphe de gauche permet de visualiser l'attracteur et le point fixe, tandis que celui de droite est un zoom dans la région de l'attracteur et du point fixe.

u = 0.1	u = 0.5	u = 0.65
u = 0.7	u = 0.8	u = 0.85
u = 0.9	u = 0.908	u = 0.92