Moment d'un vecteur

Le moment d'un vecteur peut se définir par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté. Le moment par rapport à un point est un vecteur, le moment par rapport à un axe est un scalaire. Les moments d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) sont des pseudovecteurs ou des pseudoscalaires, ceux d'un pseudovecteur sont des vecteurs vrais ou des scalaires vrais.

Définitions

• Le moment d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) $\overrightarrow{V}$ (de position M) par rapport à un point O est un pseudovecteur (ou vecteur axial) défini par le produit vectoriel :

  $\stackrel{\hookrightarrow }{M_{\mathrm{O}}}(\overrightarrow{V})=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}\wedge \overrightarrow{V}$.

• Le moment d'un vecteur vrai $\overrightarrow{V}$ (de position M) par rapport à un axe orienté Δ (de vecteur unitaire $\hat{u}$) est un pseudoscalaire défini comme la projection de $\stackrel{\hookrightarrow }{M_{\mathrm{O}}}(\overrightarrow{V})$ sur l'axe, où O est un point quelconque de l'axe :

  $M_{\mathrm{\Delta }}(\overrightarrow{V})=\hat{u}\cdot \stackrel{\hookrightarrow }{M_{\mathrm{O}}}(\overrightarrow{V})$.

• Le moment d'un pseudovecteur (ou vecteur axial) $\stackrel{\hookrightarrow }{V}$ (de position M) se définit de la même façon, par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté :

  $\overrightarrow{M_{\mathrm{O}}}(\stackrel{\hookrightarrow }{V})=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}\wedge \stackrel{\hookrightarrow }{V}$ (c'est un vecteur vrai),

  $M_{\mathrm{\Delta }}(\stackrel{\hookrightarrow }{V})=\hat{u}\cdot \overrightarrow{M_{\mathrm{O}}}(\stackrel{\hookrightarrow }{V})$ (c'est un scalaire vrai).

Exemples

• Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement :

  $\stackrel{\hookrightarrow }{L_{\mathrm{O}}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}\wedge \overrightarrow{p}$.

• Le moment d'une force ($\stackrel{\hookrightarrow }{{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{O}}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}\wedge \overrightarrow{F}$) intervient dans le théorème du moment cinétique.
• Le moment magnétique d'un circuit électrique est, au facteur Modèle:Sfrac près, l'intégrale du moment de l'élément de courant $I\overrightarrow{\mathrm{d}l}$ :

  $\stackrel{\hookrightarrow }{\mu }=\frac{1}{2}\oint \overrightarrow{r}\wedge I\overrightarrow{\mathrm{d}l}$.

• Le champ magnétique produit par un circuit électrique est, à un facteur constant près, l'intégrale du moment de l'élément de courant $I\overrightarrow{\mathrm{d}l}$ divisé par le cube de la distance (loi de Biot et Savart) :

  $\stackrel{\hookrightarrow }{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\oint \frac{\overrightarrow{r}\wedge I\overrightarrow{\mathrm{d}l}}{r^3}$.

Notes et références

Modèle:Portail