Problème d'Alhazen

Où se refléchit le rayon venant de la bougie et atteignant l'œil de l'observateur ?

Le problème d'Alhazen est un problème d'optique géométrique concernant la réflexion sur un miroir sphérique. Il porte le nom d'Alhazen en référence au mathématicien arabe du Modèle:S Alhazen (Ibn al-Haytham) qui en présenta une solution géométrique dans son Traité d'optique. La solution algébrique requiert une équation quartique. La solution du problème est, en général, non constructible à la règle et au compas.

Formulation géométrique

Modèle:Article détaillé Le but est de résoudre le problème optique suivant : Modèle:Citation Ce problème est analogue à la question : Modèle:Citation

La solution pour un miroir plan est connue de longue date : c'est le point d'intersection du miroir plan avec la droite joignant l'œil de l'observateur et le symétrique de la source de lumière par rapport au miroir plan. Cette propriété est tirée du fait que le rayon lumineux se réfléchit sur une surface en restant dans un même plan et en conservant le même angle par rapport à la normale à la surface.

Le problème de la réflexion sur un miroir sphérique, dans son aspect symétrique, est étudié dès le Modèle:S par Claude Ptolémée Modèle:Sfn.

Une traduction géométrique de ce problème est : Modèle:Citation

Solution d'Ibn al-Haytham

Traduction du problème de réflexion en problème de sécante.

Ibn al-Haytham résout le problème à l'aide d'intersections de coniques et présente une preuve géométrique en 6 lemmes Modèle:Sfn dans son Traité d'optique (Modèle:S). Il ramène le problème à la construction d'une sécante dans un triangle isocèle :

On reprend la traduction supra : trouver le point D d'un cercle de centre O et de rayon r tel que (OD) soit bissectrice de l'angle AOB. On construit un triangle isocèle MNP dont l'angle au sommet P est égal à AOB. On place sur la base [MN] un point F tel que

\frac{F M}{F N} = \frac{O B}{O A}

. On trace par F une sécante au triangle qui coupe [NP] en Q et la médiatrice de [MN] en S de telle sorte que

\frac{S Q}{Q N} = \frac{O B}{r}

(cette construction utilise l'intersection d'une hyperbole et d'un cercle) et il démontre que l'angle SQN est égal à l'angle BOD où D est le point recherché.

Il ne se limite pas au miroir sphérique mais résout le cas du miroir cylindrique et du côneModèle:Sfn. Son œuvre est traduite en latin entre la fin du Modèle:S et le début du Modèle:S. Vitellion publie en 1270 une Optique largement inspirée du traité d'Alhazen et qui contient le problèmeModèle:Sfn sans rien apporter de neuf puis l'œuvre d'Alhazen est publiée à Bâle en 1572Modèle:Sfn.

Solutions postérieures

La solution d'Ibn al-Haytham parait tellement compliquée que les mathématiciens ultérieurs vont chercher à proposer des solutions plus élégantes.

Construction mécanique

Mécanisme articulé de Roberto Marcolongo pour résoudre le problème d'Alhazen.

Selon Roberto Marcolongo^[1]Modèle:,^[2], Léonard de Vinci, à la fin du Modèle:S, a vainement cherché une solution mathématique au problème d'Alhazen avant de proposer une solution mécanique à l'aide d'un instrument articulé de type pantographe qui permet d'assurer l'égalité des angles ODA et ODB. Analysant textes et dessins de quelques feuillets du Codex Atlantico, Marcolongo a construit l'instrument articulé ci-contre. Le point O est placé au centre du cercle, la longueur OD est fixe, égale au rayon du cercle. Les branches (DA) et (DB) pivotent autour de D en conservant (OD) comme bissectrice, car le losange formé par le système articulé se déforme en conservant le sommet opposé à D aligné avec O et D. Une épingle est placée en A dans le système coulissant de la branche (DA). Et l'instrument pivote autour de O de telle sorte que la seconde branche passe par B.

Constructions géométriques

Courbe de Barrow pour le cercle et les points A et B. Ici, les points sont intérieurs. La courbe coupe le cercle en 4 points qui, tous, permettent une réflexion de A vers B (une seule réflexion est matérialisée).

Isaac Barrow en 1669 propose l'intersection du cercle avec une courbe à une boucle passant par A et B, possédant O comme point double et possédant une asymptoteModèle:Sfn.

René-François de Sluse propose la construction par l'intersection d’une parabole et d'un cercle, tandis que Christian Huygens propose, en 1672, l'intersection du cercle avec une hyperbole équilatère^[3] passant par le centre du cercle, par les points A' et B' inverses des points A et B par rapport au cercle-miroir, et ayant pour asymptotes les droites parallèles aux bissectrices de l'angle AOB passant par le milieu de [A'B']Modèle:Sfn.

Ces diverses courbes coupent le cercle en 2 ou 4 points. Quand A et B sont intérieurs au cercle tous ces points sont solutions. S'ils sont extérieurs, un point sur deux seulement est solutionModèle:Sfn.

Hyperbole de Huygens avec les 4 points de réflexion pour 2 points intérieurs.
Hyperbole de Huygens avec 2 points de réflexion pour 2 points intérieurs.
Hyperbole de Huygens pour deux points extérieurs, il y a 4 points d'intersection mais seulement deux points de réflexion.

Solutions analytiques

Des résolutions analytiques sont également recherchées. À la même période que Sluse et Huygens, James Gregory tente sans succès une résolution analytique.

Au Modèle:S, des résolutions algébriques et trigonométriques sont proposées. Abraham Gotthelf Kästner, par exemple, propose dès 1777Modèle:Sfn Modèle:,Modèle:Sfn une résolution trigonométrique, tandis que William Wales cite, dès 1781, le problème d'Alhazen comme problème conduisant à une équation de degré 4 qu'il résout à l'aide de tables logarithmiques Modèle:Sfn.

Des publications existent également au Modèle:S^[4] et le lien est fait avec les problèmes de chemins minimaux ou maximauxModèle:Sfn. Au Modèle:S, le problème continue à intéresser les mathématiciens : Jack M. Elkin^[5] en 1965 et Peter Neumann Modèle:Sfn en 1998 prouvent que la solution générale n'est pas constructible à la règle et au compas, John D. Smith expose en 1992 une élégante solution à l'aide des complexesModèle:Sfn.

Notes et références

Modèle:Références

Bibliographie

Modèle:Palette Modèle:Portail

↑ Roberto Marcolongo. Lo strumento inventato da Leonardo da Vinci per la risoluzione del problema di Alhazen, Napoli : Unione tipografica combattenti, 1929.
↑ Roberto Marcolongo, «Leonardo da Vinci nelle storia della matamatica e della meccanica, Il problema d'Alhazen», ATTI del congresso internationale dei matematici (Bologan 3-10 settembre 1928, tome 1, pp 287-289, Lire en ligne.
↑ Hyperbole éventuellement dégénérée en deux droites si OA=OB.
↑ Modèle:Lien le résout à l'aide d'une équation de degré 8 (de degré 4 selon Modèle:Harv) et par la méthode de Horner Modèle:Harv.
↑ Modèle:Article.

[1] Roberto Marcolongo. Lo strumento inventato da Leonardo da Vinci per la risoluzione del problema di Alhazen, Napoli : Unione tipografica combattenti, 1929.

[2] Roberto Marcolongo, «Leonardo da Vinci nelle storia della matamatica e della meccanica, Il problema d'Alhazen», ATTI del congresso internationale dei matematici (Bologan 3-10 settembre 1928, tome 1, pp 287-289, Lire en ligne.

[3] Hyperbole éventuellement dégénérée en deux droites si OA=OB.

[4] Modèle:Lien le résout à l'aide d'une équation de degré 8 (de degré 4 selon Modèle:Harv) et par la méthode de Horner Modèle:Harv.

[5] Modèle:Article.

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Problème d'Alhazen

Sommaire

Formulation géométrique

Solution d'Ibn al-Haytham