Harmonique cylindrique

En mathématiques, les harmoniques cylindriques sont un ensemble de solutions linéairement indépendantes de l'équation différentielle de Laplace

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}=0$

exprimées en coordonnées cylindriques Modèle:Mvar (rayon), Modèle:Mvar (azimut) et Modèle:Mvar (cote). Chaque fonction Modèle:Math est le produit de trois termes, chacun ne dépendant que d'une coordonnée. Le terme dépendant de Modèle:Mvar s'exprime avec les fonctions de Bessel (qui sont parfois également appelées harmoniques cylindriques).

Définition

Chaque fonction Modèle:Math s'exprime comme le produit de trois fonctions :

$V_n(k;\rho ,\phi ,z)={\mathrm{P}}_n(k,\rho ){\mathrm{\Phi }}_n(\phi )Z(k,z)$

avec Modèle:Math les coordonnées cylindriques, et Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des constantes qui distinguent les membres de l'ensemble. Comme résultat du principe de superposition appliqué de l'équation de Laplace, des solutions générales à l'équation de Laplace peuvent être obtenus par combinaisons linéaires de ces fonctions.

Comme toutes les surfaces pour Modèle:Mvar, Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar sont coniques, l'équation de Laplace est séparable en coordonnées cylindriques. Par la technique de séparation des variables, une solution séparée de l'équation de Laplace peut s'écrire :

$V=\mathrm{P}(\rho )\mathrm{\Phi }(\phi )Z(z)$

et en divisant l'équation de Laplace par Modèle:Mvar, elle se simplifie en :

$\frac{\ddot{\mathrm{P}}}{\mathrm{P}}+\frac{1}{\rho }\frac{\dot{\mathrm{P}}}{\mathrm{P}}+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\ddot{\mathrm{\Phi }}}{\mathrm{\Phi }}+\frac{\ddot{Z}}{Z}=0$

Le terme en Modèle:Mvar ne dépend que de Modèle:Mvar et doit donc être égal à une constante :

$\frac{\ddot{Z}}{Z}=k^2$

où Modèle:Mvar est, en général, un nombre complexe. Pour une valeur de Modèle:Mvar donnée, Modèle:Mvar a deux solutions linéairement indépendantes.

• si Modèle:Mvar est réel, on peut écrire :

$Z(k,z)=\cosh (kz)\mathrm{o}\mathrm{u}\sinh (kz)$

ou, selon son comportement à l'infini :

$Z(k,z)={\mathrm{e}}^{kz}\mathrm{o}\mathrm{u}{\mathrm{e}}^{-kz}$

• si Modèle:Mvar est imaginaire :

$Z(k,z)=\cos (|k|z)\mathrm{o}\mathrm{u}\sin (|k|z)$

ou :

$Z(k,z)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}|k|z}\mathrm{o}\mathrm{u}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}|k|z}$

On peut remarquer que les fonctions Modèle:Math sont les noyaux de la transformation de Fourier ou de la transformation de Laplace de la fonction Modèle:Math et ainsi, Modèle:Mvar peut être une variable discrète pour des conditions de bord périodiques, ou une variable continue pour des conditions de bord non périodiques.

On remplace Modèle:Math pour $\ddot{Z}/Z$, on a maintenant :

$\frac{\ddot{\mathrm{P}}}{\mathrm{P}}+\frac{1}{\rho }\frac{\dot{\mathrm{P}}}{\mathrm{P}}+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\ddot{\mathrm{\Phi }}}{\mathrm{\Phi }}+k^2=0$

En multipliant par Modèle:Math, on peut séparer les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math et introduire une nouvelle constante Modèle:Mvar pour des raisons similaires à Modèle:Mvar pour le terme dépendant de Modèle:Mvar :

$\frac{\ddot{\mathrm{\Phi }}}{\mathrm{\Phi }}=-n^2$

${\rho }^2\frac{\ddot{\mathrm{P}}}{\mathrm{P}}+\rho \frac{\dot{\mathrm{P}}}{\mathrm{P}}+k^2{\rho }^2=n^2$

Comme Modèle:Mvar est périodique, on peut prendre Modèle:Mvar positif et ainsi, on notera les solutions Modèle:Math avec des indices. Les solutions réelles pour Modèle:Math sont

${\mathrm{\Phi }}_n=\cos (n\phi )\mathrm{o}\mathrm{u}\sin (n\phi )$

ou, de façon équivalente :

${\mathrm{\Phi }}_n={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\phi }\mathrm{o}\mathrm{u}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\phi }$

Il reste le terme Modèle:Math, qui suit l'équation de Bessel.

• si Modèle:Mvar est nul mais pas Modèle:Mvar, les solutions sont:

  ${\mathrm{P}}_n(0,\rho )={\rho }^n\mathrm{o}\mathrm{u}{\rho }^{-n}$

• si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont tous deux nuls, les solutions sont :

  ${\mathrm{P}}_0(0,\rho )=\ln \rho \mathrm{o}\mathrm{u}1$

• si Modèle:Mvar est un nombre réel, on peut écrire une solution réelle sous la forme :

  ${\mathrm{P}}_n(k,\rho )=J_n(k\rho )\mathrm{o}\mathrm{u}{Y}_n(k\rho )$

avec Modèle:Math et Modèle:Math, des fonctions de Bessel ordinaires.

• si Modèle:Mvar est un nombre imaginaire, on peut écrire une solution réelle sous la forme :

  ${\mathrm{P}}_n(k,\rho )=I_n(|k|\rho )\mathrm{o}\mathrm{u}{K}_n(|k|\rho )$

avec Modèle:Math et Modèle:Math, des fonctions de Bessel modifiées.

Les harmoniques cylindriques pour Modèle:Math sont donc le produit de ces solutions et la solution générale à l'équation de Laplace est une combinaison linéaire de celles-ci :

$V(\rho ,\phi ,z)=\sum _n\int \mathrm{d}k{A}_n(k){\mathrm{P}}_n(k,\rho ){\mathrm{\Phi }}_n(\phi )Z(k,z)$

où les Modèle:Math sont des constantes dépendant de la forme cylindrique et des limites de la somme et de l'intégrale, données par les conditions au bord du problème. Certains cas de conditions au bord permettent de remplacer l'intégrale par une somme discrète. L'orthogonalité des Modèle:Math est souvent utile pour trouver la solution dans un cas précis. Les fonctions Modèle:Math Modèle:Math sont essentiellement des développements de Fourier ou de Laplace, et forment un ensemble de fonctions orthogonales. Pour le cas Modèle:Math, l'orthogonalité des Modèle:Mvar, avec les relations d'orthogonalité de Modèle:Math et Modèle:Math permettent de déterminer les constantesModèle:Sfn.

En notant Modèle:Math les zéros positifs de Modèle:Mvar, on aModèle:Sfn:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{J}_n(x_k\rho )J_n({x_k}^{\prime }\rho )\rho \mathrm{d}\rho =\frac{1}{2}{J}_{n+1}(x_k{)}^2{\delta }_{k{k}^{\prime }}$

Dans la résolution de problème, l'espace peut être divisé en un nombre fini de sous-espaces, tant que les valeurs du potentiel et de sa dérivée correspondent le long d'une frontière sans source.

Exemple : Point source dans un tube cylindrique conducteur

On cherche à déterminer le potentiel d'une source ponctuelle localisée en Modèle:Math dans un tube cylindrique conducteur (comme une boîte de conserve vide) borné par les deux plans Modèle:Mvar et sur les bords par le cylindre Modèle:Mvar. (En unités MKS, on supposera Modèle:Math). Comme le potentiel est borné par les plans sur l'axe Modèle:Mvar, la fonction Modèle:Math peut être supposée périodique. Le potentiel doit être nul à l'origine, on prend Modèle:Math, tel que l'un de ses zéros soit sur le cylindre limitant. Pour un point de mesure sous le point source sur l'axe Modèle:Mvar, le potentiel sera :

$V(\rho ,\phi ,z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_{nr}{J}_n(k_{nr}\rho )\cos (n(\phi -{\phi }_0))\sinh (k_{nr}(L+z))z\le z_0$

avec Modèle:Mvar, le Modèle:MvarModèle:E zéro de Modèle:Math et, par les relations d'orthogonalité pour chaque fonction :

$A_{nr}=\frac{4(2-{\delta }_{n0})}{a^2}\frac{\sinh k_{nr}(L-z_0)}{\sinh 2k_{nr}L}\frac{J_n(k_{nr}{\rho }_0)}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a){]}^2}$

Au-dessus du point source, on aura :

$V(\rho ,\phi ,z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_{nr}{J}_n(k_{nr}\rho )\cos (n(\phi -{\phi }_0))\sinh (k_{nr}(L-z))z\ge z_0$

$A_{nr}=\frac{4(2-{\delta }_{n0})}{a^2}\frac{\sinh k_{nr}(L+z_0)}{\sinh 2k_{nr}L}\frac{J_n(k_{nr}{\rho }_0)}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a){]}^2}.$

On retrouve bien que pour Modèle:Mvar ou Modèle:Math, la fonction s'annule. On peut aussi vérifier que les valeurs des deux solutions et de leurs dérivées coïncident pour Modèle:Math.

Point source dans un tube cylindrique conducteur infini

On supprime les conditions de bord en Modèle:Mvar (Modèle:Math). La solution devient alors :

$V(\rho ,\phi ,z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_{nr}{J}_n(k_{nr}\rho )\cos (n(\phi -{\phi }_0)){\mathrm{e}}^{-k_{nr}|z-z_0|}$

$A_{nr}=\frac{2(2-{\delta }_{n0})}{a^2}\frac{J_n(k_{nr}{\rho }_0)}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a){]}^2}.$

Point source dans un espace libre

On supprime aussi les conditions de bord en Modèle:Mvar (Modèle:Math). La somme sur les zéros de Modèle:Math devient une intégrale, et il vient alors le champ d'un point source dans un espace libre infini :

$V(\rho ,\phi ,z)=\frac{1}{R}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{A}_n(k)J_n(k\rho )\cos (n(\phi -{\phi }_0)){\mathrm{e}}^{-k|z-z_0|}\mathrm{d}k$

$A_n(k)=(2-{\delta }_{n0})J_n(k{\rho }_0)$

et Modèle:Mvar est la distance du point source au point de mesure :

$R=\sqrt{(z-z_0{)}^2+{\rho }^2+{\rho }_0^2-2\rho {\rho }_0\cos (\phi -{\phi }_0)}.$

Point source dans un espace libre à l'origine

On fixe enfin Modèle:Math. Il vient alors

$V(\rho ,\phi ,z)=\frac{1}{\sqrt{{\rho }^2+z^2}}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_0(k\rho ){\mathrm{e}}^{-k|z|}\mathrm{d}k.$

Voir aussi

• Harmonique sphérique

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Lien web