Inégalité de Jordan

$\frac{2}{\pi }x⩽\sin (x)⩽x\text{ pour }x\in [0,\frac{\pi }{2}]$

En mathématiques, l'inégalité de Jordan, du nom du mathématicien Camille Jordan, énonce que

$\frac{2}{\pi }x⩽\sin x⩽x\text{ pour }x\in [0,\frac{\pi }{2}].$

Cela peut être prouvé en utilisant la concavité de la fonction sinus dont la courbe est au-dessus de ses sécantes et en-dessous de ses tangentes, ou géométriquement comme ci-dessous.

Le cercle unité, et un cercle de rayon $EG=\sin x$ centré en E. $\begin{array}{cc}& DE⩽\stackrel{⌢}{DC}⩽\stackrel{⌢}{DG}\\ \iff & \sin x⩽x⩽\frac{\pi }{2}\sin x\\ \iff & \frac{2}{\pi }x⩽\sin x⩽x\end{array}$

Bibliographie

• Serge Colombo : Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, Modèle:ISBN , p.   167-168 ( copie en ligne )
• Da-Wei Niu, Jian Cao, Feng Qi: Généralisations de l'inégalité de Jordan et relations concernées [1] UPB Sci. Bull., Série A, Volume 72, Numéro 3, 2010, Modèle:ISSN
• Feng Qi: l'inégalité de Jordan: raffinements, généralisations, applications et problèmes connexes [2] RGMIA Res Rep Coll (2006), Volume 9, Numéro: 3, Pages: 243–259
• Meng-Kuang Kuo: Refinements of Jordan’s inequality Journal of Inequalities and Applications, 2011: 130, doi: 10.1186 / 1029-242X-2011-130

Liens externes

• Modèle:EnJordan's inequality sur Proof Wiki
• Modèle:EnJordan's and Kober's inequalities sur cut-the-knot.org
• Modèle:MathWorld