Forme de Maurer-Cartan

En géométrie différentielle, la 1-forme de Maurer-Cartan est une 1-forme différentielle particulière sur un groupe de Lie.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $𝔤:=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(G):=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
• $L:G\to \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(G);g\mapsto L_g$, l'action à gauche $L_{g_1}(g_2)=g_1{g}_2$ de $G$ sur lui-même ;

Définition

La 1-forme de Maurer-Cartan sur $G$ est la 1-forme différentielle à valeurs en $𝔤$ définie en tout $g\in G$ et sur tout $v\in T_{g}G$ par :

$\theta {|}_g(v):=(L_g^{-1}{)}_{*}(v)\in T_{e}G=𝔤$.

Remarque

La 1-forme de Maurer-Cartan $\theta \in {\mathrm{\Omega }}^1(G;𝔤)$ vérifie l'équation structurelle de Maurer-Cartan :

$0=d\theta +\frac{1}{2}[\theta \wedge \theta ]$.