Champ vectoriel fondamental

En géométrie différentielle, un champ vectoriel fondamental est un certain type de champ vectoriel sur un fibré principal.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $𝔤:=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(G):=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
• $B$, une variété différentielle ;
• $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
• $\mathrm{\Phi }:G\to \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(P);\lambda \mapsto {\mathrm{\Phi }}_{\lambda }$, l'action à droite de $G$ sur $P$ ;
• ${\mathrm{\Phi }}_{*}{|}_e:𝔤\to 𝔛(P)$, l'action de groupe infinitésimale $G$ sur $P$.

Définition

À tout $\xi \in 𝔤$ correspond, via ${\mathrm{\Phi }}_{*}{|}_e:𝔤\to 𝔛(P)$, un champ vectoriel fondamental sur $P$ :

${\xi }^{\bullet }:={\mathrm{\Phi }}_{*}{|}_e(\xi )\in 𝔛(P)$.

Remarque

On peut aussi écrire un champ vectoriel fondamental en $a\in P$ comme :

${\xi }^{\bullet }{|}_a={\frac{d}{dt}|}_{t=0}{\mathrm{\Phi }}_{\exp (t\xi )}(a)$.

Remarque

La distribution verticale $V\subset TP$ est engendrée point par point par les champs vectoriels fondamentaux.

Plus précisément, en tout $a\in P$ on a :

$V_a=ℝ⟨{\xi }^{\bullet }{|}_a:\xi \in 𝔤⟩$.

Remarque

La notion de champ vectoriel fondamental sur un fibré principal se retrouve dans un des axiomes définissant la notion de forme de connexion via $A({\xi }^{\bullet })=\xi$.

Remarque

Les champs vectoriels fondamentaux satisfont :

$[{\xi }_1^{\bullet },{\xi }_2^{\bullet }]=-[{\xi }_1,{\xi }_2{]}^{\bullet },\mathrm{\forall }{\xi }_1,{\xi }_2\in 𝔤$ ;

$({\mathrm{\Phi }}_{\lambda }{)}_{*}({\xi }^{\bullet }{|}_a)=({\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\lambda }^{-1}\circ \xi {)}^{\bullet }{|}_{a\cdot \lambda },\mathrm{\forall }\lambda \in G,a\in P,\xi \in 𝔤$.