Trajectoire orthogonale

Trajectoires orthogonales de cercles concentriques

Trajectoires orthogonales de paraboles

En mathématiques, une trajectoire orthogonale est une courbe qui intersecte les courbes d'un faisceau dans le plan orthogonalement.

Par exemple, les trajectoires orthogonales d'un faisceau de cercles concentriques sont les droites passant par le centre commun.

Les méthodes usuelles de détermination de trajectoires orthogonales sont données par la résolution d'équations différentielles ; dans les cas simples, on détermine une équation différentielle ordinaire du premier ordre, que l'on résout par séparation des variables pour obtenir l'expression exacte.

Les trajectoires orthogonales sont utilisées en mathématiques dans les systèmes de coordonnées courbes (i.e. coordonnées elliptiques). En physique, le calcul de trajectoires orthogonales permet de déterminer les champs électriques et leurs courbes équipotentielles.

Dans le cas plus général, les courbes intersectant l'ensemble d'un faisceau selon un angle donné fixe sont appelées trajectoires isogonales.

Détermination des trajectoires orthogonales

En coordonnées cartésiennes

On note Modèle:Math le faisceau de courbes et Modèle:Math celui de ses trajectoires orthogonales. On suppose que les courbes de Modèle:Math vérifient toutes une équation différentielle non paramétrée, qui permettent donc de déterminer la pente de la tangente en un point d'une courbe. Pour trouver les trajectoires orthogonales, il suffit donc de calculer l'opposé de l'inverse de cette pente.

Forme ordinaire

L'équation différentielle caractérisant Modèle:Math est de la forme :

$y^{\prime }=f(x,y).$

Cette valeur Modèle:Math correspond à la pente de la tangente de la courbe de Modèle:Math passant par Modèle:Math, donc la pente de la tangente à la trajectoire orthogonale en ce point vaut Modèle:Math.

Déterminer les courbes de Modèle:Math revient donc à résoudre l'équation différentielle :

$y^{\prime }=\frac{-1}{f(x,y)}.$

Système différentiel

L'équation différentielle caractérisant Modèle:Math est de la forme :

$x^{\prime }=a(x,y),y^{\prime }=b(x,y).$

Par un raisonnement similaire, on montre que les courbes de Modèle:Math vérifient :

$x^{\prime }=-b(x,y),y^{\prime }=a(x,y).$

Différentielle

L'équation différentielle caractérisant Modèle:Math est de la forme :

$A(x,y)\mathrm{d}x+B(x,y)\mathrm{d}y=0.$

Par un raisonnement similaire, on montre que les courbes de Modèle:Math vérifient :

$-B(x,y)\mathrm{d}x+A(x,y)\mathrm{d}y=0.$

Forme implicite non différentielle

Dans le cas où l'équation caractérisant Modèle:Math est algébrique, de la forme :

$V(x,y)=c,$

on se ramène au cas précédent en différentiant :

$\frac{\partial V}{\partial x}(x,y)\mathrm{d}x+\frac{\partial V}{\partial y}(x,y)\mathrm{d}y=0.$

Exemples

Cercles concentriques

L'ensemble des cercles centrés à l'origine vérifie :

$x^2+y^2-\alpha =0,\alpha ⩾0,$

qui admet pour différentielle :

$x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y=0.$

Les trajectoires orthogonales vérifient donc

$-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=0⟺y=\lambda x,\lambda \in ℝ.$

Il s'agit du faisceau de droites passant par l'origine.

Paraboles

L'ensemble des paraboles passant par l'origine, d'axe (Oy), vérifie $y-\alpha x^2=0,\alpha \in ℝ$ qui admet pour différentielle :

$-2\alpha x\mathrm{d}x+\mathrm{d}y=0.$

Les trajectoires orthogonales vérifient donc, en utilisant l'équation de base pour supprimer le paramètre Modèle:Mvar :

$\mathrm{d}x+2\alpha x\mathrm{d}y=\mathrm{d}x+\frac{2y}{x}\mathrm{d}y=0⟹x^2+2y^2=\lambda .$

Ce sont des ellipses.

En coordonnées polaires

Si l'équation du faisceau est donnée en coordonnées polaires :

$V(r,\phi ,\alpha )=0$

la forme différentielle non paramétrée s'écrit

$\frac{\partial V}{\partial r}(r,\phi ,\alpha )+\frac{\partial V}{\partial \phi }(r,\phi ,\alpha )\cdot \frac{\partial \phi }{\partial r}=0,\frac{\partial \phi }{\partial r}=v(r,\phi ).$

L'équation des trajectoires orthogonales s'écrit alors :

$\frac{\partial \phi }{\partial r}=-\frac{1}{r^{2}v(r,\phi )}.$

Les trajectoires orthogonales d'un faisceau de cardioïdes sont elles-mêmes des cardioïdes.

Exemple

L'équation d'un faisceau de cardioïdes est donné par :

$V(r,\phi ,\alpha )=r-\alpha (1+\cos \phi )=0,\alpha >0.$

$V_r(r,\phi ,\alpha )+V_{\phi }(r,\phi ,\alpha ){\phi }^{\prime }=1+\alpha \sin \phi {\phi }^{\prime }=0,$

En éliminant Modèle:Mvar, on obtient l'équation :

${\phi }^{\prime }=-\frac{1+\cos \phi }{r\sin \phi }$

L'équation différentielle des trajectoires orthogonales est alors :

${\phi }^{\prime }=\frac{\sin \phi }{r(1+\cos \phi )}$

Une résolution par séparation des variables donne

$r=\lambda (1-\cos \phi ),\lambda >0,$

soit un faisceau de cardioïdes symétrique à l'original.

Trajectoires isogonales

Quand les courbes recherchées intersectent le faisceau selon un angle Modèle:Mvar fixé donné, on parle de trajectoires isogonales.

La relation entre la pente de la tangente à une courbe du faisceau Modèle:Mvar et la pente d'une trajectoire isogonale Modèle:Mvar en un point Modèle:Math est donnée par :

${\eta }^{\prime }=\frac{y^{\prime }+\tan (\theta )}{1-y^{\prime }\tan (\theta )}.$

Cette égalité se déduit du développement de Modèle:Math. Pour Modèle:Math, on retrouve la relation des trajectoires orthogonales.

Afin de trouver l'équation des trajectoires isogonales, l'équation à résoudre, sous la forme ordinaire, devient :

$y^{\prime }=\frac{f(x,y)+\tan (\theta )}{1-f(x,y)\tan (\theta )}.$

Trajectoires isogonales d'un faisceau de cercles concentriques pour Modèle:Math

Exemple

On reprend l'exemple du faisceau de cercles centrés à l'origine, mais on fixe Modèle:Math, ce qui donne l'équation suivante à résoudre :

$y^{\prime }=\frac{-x/y+1}{1+x/y}.$

Après un changement de variables Modèle:Math, l'équation est résoluble par séparation des variables, ce qui donne l'ensemble des courbes solutions d'équation :

$\arctan \frac{y}{x}+\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)=\lambda ,$

soit en coordonnées polaires

$\lambda -\phi =\ln (r).$

Ce sont des spirales logarithmiques.

Méthodes de résolution numérique

Dans le cas où l'équation différentielle des trajectoires n'est pas résoluble exactement, on utilise des méthodes numériques pour les déterminer, usuellement des méthodes de Runge-Kutta.

Applications

Électromagnétisme

Dans un champ électromagnétique en deux dimensions, les équipotentielles (les courbes de niveaux pour un potentiel donné) sont les trajectoires orthogonales des lignes de champ.

Voir aussi

• Ovale de Cassini
• Coniques confocales
• Trajectoire
• Cercles d'Apollonius

Références

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Liens externes

• Modèle:En Exploring orthogonal trajectories - application permettant de tracer des familles de courbes et leurs trajectoires orthogonales
• LIGNES DE CHAMP, LIGNES ORTHOGONALES, SYSTÈME DOUBLE ORTHOGONAL sur Mathcurve