Matrice modale

Modèle:Orphelin En algèbre linéaire, la matrice modale est utilisée dans le processus de diagonalisation impliquant des valeurs propres et des vecteurs propres.

Plus précisément la matrice modale $M$ pour la matrice $A$ est la matrice n × n formée avec les vecteurs propres de $A$ sous forme de colonnes. Elle est utilisée en diagonalisation

$D=M^{-1}AM,$

où $D$ est une matrice diagonale n × n avec les valeurs propres de $A$ sur la diagonale principale de $D$ et des zéros ailleurs. La matrice $D$ s'appelle la matrice spectrale pour $A$. Les valeurs propres doivent apparaître de gauche à droite, de haut en bas dans le même ordre que leurs vecteurs propres correspondants sont disposés de gauche à droite dans $M$.

Exemple

La matrice

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 2& 0& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$

a des valeurs propres et des vecteurs propres correspondants:

${\lambda }_1=-1,{𝐛}_1=(-3,6,1),$

${\lambda }_2=2,{𝐛}_2=(0,0,1),$

${\lambda }_3=4,{𝐛}_3=(2,1,1).$

Une matrice diagonale $D$, similaire, à $A$ est :

$D=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right).$

Un choix possible pour une matrice inversible $M$ tel que $D=M^{-1}AM,$ est :

$M=\left(\begin{array}{ccc}-3& 0& 2\\ 6& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$

On peut remarquer que la matrice modale $M$ et la matrice diagonale $D$ ne sont pas uniques. En effet, si on permute une colonne de $M$, on obtient une nouvelle matrice $D$. De plus, la non unicité des vecteurs propres implique que la matrice $M$ n'est pas unique.

Matrice modale généralisée

Soit $A$ une matrice n × n. Une matrice modale généralisée $M$ de $A$ est une matrice n × n dont les colonnes, considérées comme des vecteurs, forment une base canonique pour $A$ et apparaissent dans $M$ selon les règles suivantes :

• Toutes les chaînes Jordan constituées d'un vecteur (c'est-à-dire de longueur d'un vecteur) apparaissent dans les premières colonnes de $M$.
• Tous les vecteurs d'une chaîne apparaissent ensemble dans les colonnes adjacentes de $M$ .
• Chaque chaîne apparaît dans $M$ par ordre de rang croissant (c'est-à-dire que le vecteur propre généralisé de rang 1 apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 2 de la même chaîne, qui apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 3 de la même chaîne, etc.).

On peut montrer que (1): $AM=MJ$où $J$ est la réduction de Jordan de A.

En multipliant à gauche par $M^{-1}$, on obtient (2): $J=M^{-1}AM$

On notera que lors du calcul de ces matrices, l'équation (1) est la plus facile des deux équations à vérifier, car elle ne nécessite pas d'inverser une matrice.

Exemple

Cet exemple illustre une matrice modale généralisée avec quatre chaînes de Jordan. Modèle:Non neutre La matrice

$A=\left(\begin{array}{ccccccc}-1& 0& -1& 1& 1& 3& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 2& 1& 2& -1& -1& -6& 0\\ -2& 0& -1& 2& 1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ -1& -1& 0& 1& 2& 4& 1\end{array}\right)$

a une seule valeur propre ${\lambda }_1=1$ avec multiplicité algébrique ${\mu }_1=7$ . Une base canonique pour $A$ se composera d'un vecteur propre généralisé linéairement indépendant de rang 3 (rang de vecteur propre généralisé), deux de rang 2 et quatre de rang 1 ; ou de manière équivalente, une chaîne de trois vecteurs $\{{𝐱}_3,{𝐱}_2,{𝐱}_1\}$, une chaîne de deux vecteurs $\{{𝐲}_2,{𝐲}_1\}$, et deux chaînes d'un vecteur $\left\{{𝐳}_1\right\}$, $\left\{{𝐰}_1\right\}$ .

Une réduction de Jordan "presque diagonale" $J$, similaire à $A$, s'obtient comme suit :

$M=\left(\begin{array}{ccccccc}{𝐳}_1& {𝐰}_1& {𝐱}_1& {𝐱}_2& {𝐱}_3& {𝐲}_1& {𝐲}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 1& -1& 0& 0& -2& 1\\ 0& 3& 0& 0& 1& 0& 0\\ -1& 1& 1& 1& 0& 2& 0\\ -2& 0& -1& 0& 0& -2& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0& -1& 0\end{array}\right),$

$J=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$

où $M$ est une matrice modale généralisée pour $A$, les colonnes de $M$ sont une base canonique pour $A$, et $AM=MJ$. Il faut remarquer que puisque les vecteurs propres généralisés eux-mêmes ne sont pas uniques, et que certaines des colonnes des deux $M$ et $J$ peuvent être interchangés, il s'ensuit que les deux $M$ et $J$ ne sont pas uniques.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Bronson online matrix calculator with steps