Rêve du deuxième année

Modèle:Sources En mathématiques, le rêve du deuxième année désigne les deux identités :

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}\mathrm{d}x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}\approx 1,291285997...\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^x\mathrm{d}x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}\approx 0,783430510...\end{array}$

Voir la Modèle:OEIS et la Modèle:OEIS.

Elles ont été découvertes en 1697 par Jean Bernoulli.

Le nom « rêve du deuxième année », apparu en 2004, fait référence au « rêve du première année » qui est la fausse identité Modèle:Math. À l'inverse, les deux identités du rêve du deuxième année (en anglais Modèle:Lang), qui donnent la même impression d'être « trop belles pour être vraies » Modèle:Incise sont vraies.

Graphe des fonctions Modèle:Math (rouge, en bas) et Modèle:Math (gris, en haut) sur l'intervalle Modèle:Math.

Historique

Jean Bernoulli a découvert ces égalités en s'intéressant à la différentiation du logarithme népérien.

Voir aussi

Bibliographie

Formules

• Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, Modèle:P.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Suites Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:MathWorld

Fonction

• Modèle:En Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum, 03/02/2010
• Modèle:En The Coupled Exponential, Jay A. Fantini et Gilbert C. Kloepfer, 1998
• Modèle:En Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
• Modèle:Article
• Modèle:Article

Articles connexes

• Rêve du première année
• Série (mathématiques)