Formule de Moivre

Abraham de Moivre a donné son nom à la formule.

La formule de Moivre affirme que, pour tout nombre réel Modèle:Mvar et pour tout entier relatif Modèle:Mvar :

${(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^n=\cos (nx)+\mathrm{i}\sin (nx)(1)$

Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de –1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits.

Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Parfois la formule est réécrite en remplaçant « Modèle:Formule » par « Modèle:Formule ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance Modèle:Mvar, on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous.

Interprétation géométrique

Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaires.

Pour Modèle:Mvar réel, l'égalité « Modèle:Formule » entraîne que le nombre complexe Modèle:Formule a pour Modèle:Nobr Dans le plan d'Argand, les nombres complexes de Modèle:Nobr forment le cercle C de centre O et de Modèle:Nobr (le cercle unité). En particulier, le point M d'affixe Modèle:Mvar appartient à C. Si I est le point Modèle:Nobr l'angle (OI, OM) mesure Modèle:Nobr. La formule de Moivre affirme que Modèle:Mvar est l'affixe du point N de C tel que l'angle orienté (OI, ON) mesure Modèle:Nobr.

La formule de Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux nombres complexes de Modèle:Nobr, on place les points M et N d'affixes respectives Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, et on obtient Modèle:Mvar comme l'affixe du point P de C tel que Modèle:Nobr. On dispose alors de la formule générale :

$(\cos x+\mathrm{i}\sin x)(\cos y+\mathrm{i}\sin y)=\cos (x+y)+\mathrm{i}\sin (x+y)(2)$

qui (en développant le membre de gauche) équivaut aux formules d'addition pour le cosinus et le sinus.

Historique

Timbre à l'effigie d'Euler.

La forme courante de la formule apparaît dans l'Introduction à l'analyse infinitésimale d'Euler qui la démontre, pour tout entier naturel Modèle:Mvar, en 1748. Mais elle apparait de manière implicite chez Abraham de Moivre à plusieurs reprises à partir de 1707, dans ses travaux sur les racines Modèle:Mvar-ièmes de nombres complexes. Les deux problèmes sont effectivement liés : écrire que Modèle:Formule est équivalent à dire que Modèle:Formule est une des [[Racine d'un nombre#Racines d'un complexe|racines Modèle:Mvar-ièmes]] du complexe Modèle:Formule.

Démonstration

On démontre (1) dans un premier temps pour Modèle:Formule par récurrence sur Modèle:Mvar.

• Pour Modèle:Formule, la formule est vraie puisque Modèle:Formule et par convention, Modèle:Formule.
• Soit un entier Modèle:Formule. Supposons la formule vraie pour Modèle:Mvar. Alors,

${(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^k=\cos (kx)+\mathrm{i}\sin (kx)$

Ce qui donne :

$\begin{array}{cc}{(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^k(\cos x+\mathrm{i}\sin x)\\ & =[\cos \left(kx\right)+\mathrm{i}\sin \left(kx\right)](\cos x+\mathrm{i}\sin x)\end{array}$

Par la formule (2), il vient :

${(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^{k+1}=\cos ((k+1)x)+\mathrm{i}\sin ((k+1)x)$

Nous en déduisons que la formule est vraie au rang Modèle:Formule.

D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels.

Lorsque Modèle:Formule, nous considérons l'entier Modèle:Math tel que Modèle:Formule. Ainsi

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^n& ={(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^{-m}\\ & =\frac{1}{{(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^m}\\ & =\frac{1}{\cos mx+\mathrm{i}\sin mx}\\ & =\cos \left(mx\right)-\mathrm{i}\sin \left(mx\right)\\ & =\cos (-mx)+\mathrm{i}\sin (-mx)\\ & =\cos \left(nx\right)+\mathrm{i}\sin \left(nx\right).\end{array}$

Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs Modèle:Mvar, c.q.f.d..

Utilisations de la formule de Moivre

Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances nModèle:Exp de nombres complexes sous forme trigonométrique :

$z^n=r^n(\cos (nx)+\mathrm{i}\sin (nx))$

ainsi que pour obtenir les formes de Modèle:Formule et Modèle:Formule en fonction de Modèle:Formule et Modèle:Formule.

Par exemple, pour avoir Modèle:Formule et Modèle:Formule, on égale :

$(\cos (x)+\mathrm{i}\sin (x){)}^2=\cos (2x)+\mathrm{i}\sin (2x)$

On a :

${\cos }^2(x)+2\cos (x)\sin (x)\mathrm{i}-{\sin }^2(x)$$=\cos (2x)+\mathrm{i}\sin (2x)$

On identifie les parties réelles et imaginaires, pour obtenir les deux égalités suivantes :

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$

$\sin (2x)=2\cos (x)\sin (x)$

On dispose ainsi des formules trigonométriques de duplication.

Polynômes de Tchebychev

Pafnouti Tchebychev.

La formule de Moivre donne :

$\cos (nx)+\mathrm{i}\sin (nx)={(\cos x+\mathrm{i}\sin x)}^n=\sum _{p=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}){\cos }^{n-p}(x){\mathrm{i}}^p{\sin }^p(x)$

En prenant la partie réelle et en posant Modèle:Formule, il vient :

$\cos (nx)=T_n(\cos x)$

où Modèle:Mvar est un polynôme de degré Modèle:Formule, appelé polynôme de Tchebychev.

$T_n(X)=\sum _{0\le 2k\le n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})(-1{)}^k{X}^{n-2k}(1-X^2{)}^k$

Bibliographie

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