Fonction de perturbation

Pour deux paires d'espaces localement convexes séparés $(X,X^{*})$ et $(Y,Y^{*})$, en posant $f:X\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$, on peut écrire le problème d'optimisation primal comme

$\underset{\mathrm{x}\in X}{\inf }f(x).$

Pour un problème sous contraintes, on peut corriger Modèle:Mvar par Modèle:Math avec Modèle:Mvar est la fonction indicatrice de l'espace des contraintes. Une fonction $F:X\times Y\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ est une fonction de perturbation si elle est telle que

$F(\mathrm{x},0)=f(\mathrm{x})$.

Par exemple, pour un problème d'optimisation primal

$\underset{\mathrm{x}\in X\subseteq {ℝ}^n}{\inf }\{f(\mathrm{x}),g_i(\mathrm{x})\le 0,i=1,...,m\}$

on définit la fonction de perturbation Modèle:Mvar comme

$\mathrm{\forall }\mathrm{y}=(y_1,...,y_m)\in {ℝ}^m,v(\mathrm{y})=\underset{\mathrm{x}\in X\subseteq {ℝ}^n}{\inf }\{f(\mathrm{x}),g_i(\mathrm{x})\le y_i,i=1,...,m\}.$

Propriétés

Le problème primal est dit stable si Modèle:Math est fini (le problème a une solution) et s'il existe un réel Modèle:Mvar tel que

$\mathrm{\forall }\mathrm{y}\in ({ℝ}^m{)}^{*},v(0)-v(\mathrm{y})\le K\Vert \mathrm{y}\Vert .$

Exemples

Lagrangien

Modèle:Article détaillé Soient $(X,X^{*})$ et $(Y,Y^{*})$ deux paires duales. Pour un problème primal donné (minimiser f(x)) et une fonction de perturbation associée (F(x,y)) alors le Lagrangien $L:X\times Y^{*}\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ est le conjugué négatif de F par rapport à y (i.e. le conjugué concave). Le Lagrangien est défini par

$L(x,y^{*})=\underset{y\in Y}{\inf }\{F(x,y)-y^{*}(y)\}.$

En particulier la équation du minmax en dualité faible peut être vue comme

$\underset{y^{*}\in Y^{*}}{\sup }-F^{*}(0,y^{*})=\underset{y^{*}\in Y^{*}}{\sup }\underset{x\in X}{\inf }L(x,y^{*})\le \underset{x\in X}{\inf }\underset{y^{*}\in Y^{*}}{\sup }L(x,y^{*})=\underset{x\in X}{\inf }F(x,0).$

Si le problème primal est

$\underset{x:g(x)\le 0}{\inf }f(x)=\underset{x\in X}{\inf }\tilde{f}(x)$

avec$\tilde{f}(x)=f(x)+I_{{ℝ}_{+}^d}(-g(x))$, alors si la perturbation est donnée par

$\underset{x:g(x)\le y}{\inf }f(x)$

alors la fonction de perturbation est

$F(x,y)=f(x)+I_{{ℝ}_{+}^d}(y-g(x)).$

Ainsi la connexion à la dualité lagrangienne peut être vue, comme L peut être changée trivialement en

$L(x,y^{*})=\{\begin{array}{cc}f(x)+y^{*}(g(x))& \text{if }{y}^{*}\in {ℝ}_{+}^d,\\ -\mathrm{\infty }& \text{else}.\end{array}$

Dualité de Fenchel

Pour une fonction Modèle:Mvar convexe et fermée, on définit la transformée de Fenchel-Rockafellar ou Fenchel-Legendre ou polaire, la fonction

$f^{*}(x)=\sup ⟨x,y⟩-f(y)$

Elle est bien une fonction de perturbation dans le sens où

$f^{*}(0)=-\inf f(x)$

Soient $(X,X^{*})$ et $(Y,Y^{*})$ deux paires duales. On suppose qu'il existe une application linéaire $T:X\to Y$ avec pour opérateur adjoint $T^{*}:Y^{*}\to X^{*}$. On suppose que la fonction objectif primale$f(x)$ (avec les contraintes sous forme de fonctions indicatrices) peut être écrites sous la forme $f(x)=J(x,Tx)$ de sorte que $J:X\times Y\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$. Alors la fonction de perturbation est donnée par

$F(x,y)=J(x,Tx-y).$

En particulier, si la fonction primale est $f(x)+g(Tx)$ alors la fonction de perturbation est donnée par $F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)$, qui est la définition traditionnelle de la dualité de Fenchel.