Constante de Glaisher–Kinkelin

En mathématiques, la constante de Glaisher-Kinkelin ou constante de Glaisher, usuellement notée Modèle:Mvar, est une constante mathématique, liée à l'hyperfactorielle et la superfactorielle. La constante apparait dans plusieurs sommes et intégrales, en particulier celles qui nécessitent les fonctions gamma et zeta. Son nom est dû aux mathématiciens James Whitbread Lee Glaisher et Modèle:Lien.

Sa valeur est approximativement :

Modèle:Math...   (Modèle:OEIS).

La constante de Glaisher–Kinkelin Modèle:Mvar est donnée par la limite :

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{K(n+1)}{n^{n^2/2+n/2+1/12}{\mathrm{e}}^{-n^2/4}}$

où fonction $K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}{k}^k$ est l'hyperfactorielle. La formule suivante fait le rapprochement entre Modèle:Mvar et Modèle:Math, équivalente à la formule de Stirling :

$\sqrt{2\pi }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{n^{n+1/2}{\mathrm{e}}^{-n}}$

qui montre que tout comme Modèle:Math est obtenue par une approximation de la fonction factorielle, Modèle:Mvar est obtenue par l'approximation de l'hyperfactorielle.

Une définition équivalente de Modèle:Mvar faisant intervenir la superfactorielle, donnée par $G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{K(n)}$ où Modèle:Formule désigne la fonction gamma, est :

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(2\pi {)}^{n/2}{n}^{n^2/2-1/12}{\mathrm{e}}^{-3n^2/4+1/12}}{G(n+1)}$.

La constante de Glaisher-Kinkelin apparait aussi dans l'évaluation des dérivées de la fonction zêta de Riemann :

${\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{12}-\ln A$,

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{k^2}=-{\zeta }^{\prime }(2)=\frac{{\pi }^2}{6}[12\ln A-\gamma -\ln (2\pi )]$

où Modèle:Mvar est la constante d'Euler–Mascheroni. Cette dernière formule mène directement au produit trouvé par Glaisher :

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{1/k^2}={\left(\frac{A^{12}}{2\pi {\mathrm{e}}^{\gamma }}\right)}^{{\pi }^2/6}$.

Une formule alternative, définie seulement sur les nombres premiers, est

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_k^{1/(p_k^2-1)}=\frac{A^{12}}{2\pi {\mathrm{e}}^{\gamma }},$

où Modèle:Mvar désigne le Modèle:Mvar-ième nombre premier.

Voici quelques intégrales qui impliquent cette constante :

$\underset{0}{\overset{1/2}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{d}x=\frac{3}{2}\ln A+\frac{5}{24}\ln 2+\frac{1}{4}\ln \pi$,

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln x}{{\mathrm{e}}^{2\pi x}-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A$

Une représentation en série de cette constante découle d'une série pour la fonction zêta de Riemann donnée par Helmut Hasse :

$\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(k+1{)}^2\ln (k+1)$.

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Article (Provides a variety of relationships.)
• Modèle:Mathworld
• Modèle:Mathworld

Liens externes

• Les 20 000 premières décimales de la constante de Glaisher–Kinkelin