Conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta

En mathématiques, les conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta, d'après Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood, sont deux conjectures concernant la répartition et la densité des zéros de la fonction zêta de Riemann.

Conjectures

En 1914, Godfrey Harold Hardy a prouvé que la fonction zêta de Riemann $\zeta (\frac{1}{2}+it)$ a une infinité de zéros réels.

Soit $N(T)$ le nombre de zéros réels inférieurs, $N_0(T)$ le nombre de zéros d'ordre impair de la fonction $\zeta (\frac{1}{2}+it)$, situés sur l'intervalle $]0,T]$ .

Hardy et Littlewood ont avancé deux conjectures.

1. Pour tout $\epsilon >0$, il existe $T_0=T_0(\epsilon )>0$ tel que pour $T\ge T_0$ et $H=T^{0.25+\epsilon }$ l'intervalle $]T,T+H]$ contient un zéro d'ordre impair de la fonction $\zeta (\frac{1}{2}+it)$ .
2. Pour tout $\epsilon >0$, il existe $T_0=T_0(\epsilon )>0$ et $c=c(\epsilon )>0$, tels que pour $T\ge T_0$ et $H=T^{0.5+\epsilon }$ l'inégalité $N_0(T+H)-N_0(T)\ge cH$ est vérifiée.

Avancés

Modèle:Article détaillé En 1942, Atle Selberg étudia le problème 2 et prouva que pour tout $\epsilon >0$ il existe $T_0=T_0(\epsilon )>0$ et $c=c(\epsilon )>0$, tels que pour $T\ge T_0$ et $H=T^{0.5+\epsilon }$ ont ait l'inégalité $N(T+H)-N(T)\ge cH\log T$.

À son tour, Selberg fait une conjecture selon laquelle il est possible de diminuer la valeur de l'exposant $a=0.5$ pour $H=T^{0.5+\epsilon }$, ce qui a été prouvé Modèle:Nombre plus tard par A. Karatsuba.