Clôture normale (théorie des groupes)

En théorie des groupes, la clôture normale d'un sous-ensemble $S$ d'un groupe $G$ est le plus petit sous-groupe normal de $G$ contenant $S.$

Définitions équivalentes

• La clôture normale ${\mathrm{cln}}_G(S)$ de $S$ dans $G$ est l'intersection de tous les sous-groupes normaux de $G$ contenant $S$ :$${\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{n}}_G(S)=\bigcap _{S\subseteq N◃G}N.$$
• Le sous-groupe ${\mathrm{cln}}_G(S)$ est engendré par l'ensemble $S^G=\{s^g:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}$ de tous les conjugués dans $G$ des éléments de $S.$
• On peut donc aussi écrire$${\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{n}}_G(S)=\{g_1^{-1}{s}_1^{{ϵ}_1}{g}_1\dots g_n^{-1}{s}_n^{{ϵ}_n}{g}_n:n\ge 0,{ϵ}_i=\pm 1,s_i\in S,g_i\in G\}.$$

Propriétés

Tout sous-groupe normal est égal à sa clôture normale.

La clôture normale de l'ensemble vide est le sous-groupe trivial.

Il existe d'autres notations pour la clôture normale dans la littérature, comme $⟨S^G⟩,$$⟨S{⟩}^G,$$⟨⟨S⟩{⟩}_G$ ou $⟨⟨S⟩{⟩}^G.$

Le dual du concept de clôture normale est celui d'intérieur normal ou cœur, défini comme le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes normaux de $G$ contenus dans $S$.

Présentation de groupe

Pour un groupe donné par une présentation $G=⟨S\mid R⟩$ avec des générateurs $S$ et des relations $R,$ il est équivalent de définir $G$ comme le groupe quotient $G=F(S)/{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{n}}_{F(S)}(R),$ où $F(S)$ est un groupe libre sur $S$.