Formule genre-degré

Modèle:Ébauche Modèle:Orphelin En géométrie algébrique, la formule genre - degré est une équation reliant le degré d d'une courbe plane irréductible $C$ avec son genre arithmétique g par la formule :

$g=\frac{1}{2}(d-1)(d-2).$

Ici « courbe plane » signifie que $C$ est une courbe fermée dans le plan projectif ${\mathbb{P}}^2$. Si la courbe est non singulière, le genre géométrique et le genre arithmétique sont égaux, mais si la courbe est singulière, avec seulement des singularités ordinaires, le genre géométrique a priori est plus petit. Plus précisément, une singularité ordinaire de multiplicité r diminue le genre de $\frac{1}{2}r(r-1)$.

Généralisation

Pour une hypersurface non singulière $H$ de degré d dans le plan projectif ${\mathbb{P}}^n$ de genre arithmétique g la formule devient :

$g=(\genfrac{}{}{0ex}{}{d-1}{n}),$

où $(\genfrac{}{}{0ex}{}{d-1}{n})$ est le coefficient binomial.

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