Produit restreint

Modèle:Sources à lier En mathématiques, le produit restreint est une construction de la théorie des groupes topologiques.

Soit $I$ un ensemble ; $S$ un sous-ensemble fini de $I$. Si $G_i$ est la donnée d'un groupe localement compact pour chaque $i\in I$, et $K_i\subset G_i$ un sous-groupe compact ouvert pour chaque $i\in I\setminus S$, alors le produit restreint

$\prod _i{\mathrm{\backslash nolimits}}^{\prime }{G}_i$

est le sous-ensemble du produit de $G_i$ composé de tous les éléments $(g_i{)}_{i\in I}$ tel que $g_i\in K_i$ pour tous sauf un nombre fini $i\in I\setminus S$.

On muni ce groupe de la topologie dont une base d'ensembles ouverts sont de la forme

$\prod _i{A}_i,$

où $A_i$ est ouvert dans $G_i$ et $A_i=K_i$ pour tous sauf un nombre fini $i$.

On peut facilement montrer que le produit restreint est lui-même un groupe localement compact. L'exemple le plus connu de cette construction est celui de l'anneau adélique d'un corps global.

Références

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.