Mesure de Brown

Modèle:Confusion La mesure de Brown est un terme de l'analyse fonctionnelle qui généralise la mesure spectrale pour les opérateurs dans l'algèbre de von Neumann de type II. Le terme a été introduit 1983 par Lawrence G. Brown. La mesure de Brown est utilisée entre autres dans la théorie des matrices aléatoires.

Mesure de Brown

Soit $ℳ$ une algèbre de von Neumann avec un état $\tau$ tracial, normale et fidèle. Pour $T\in ℳ$, soit ${\mu }_{|T|}$ la mesure spectrale de $|T|=(T^{*}T{)}^{1/2}$ par rapport à $\tau$.

Le déterminant opérateur suivant est appelé Modèle:Lien

$\mathrm{\Delta }(T)=\exp (\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\ln t\mathrm{d}{\mu }_{|T|}(t)).$

Brown a prouvé qu'il existe une mesure de probabilité unique ${\mu }_T$ avec support compact sur $ℂ$ et ${\mu }_T$ a la propriété

$\ln \mathrm{\Delta }(T-\lambda \mathrm{𝟏})=\underset{ℂ}{\int }\ln |z-\lambda |\mathrm{d}{\mu }_T(z),\lambda \in ℂ.$

Cette mesure ${\mu }_T$ est appelée la mesure de Brown.

Bibliographie

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