Quadrilatère bicentrique

En géométrie euclidienne, un quadrilatère bicentrique est un quadrilatère convexe possédant à la fois un cercle inscrit (tangent à ses quatre côtés) et un cercle circonscrit (passant par ses quatre sommets). Il découle de cette définition que les quadrilatères bicentriques ont les propriétés des quadrilatères circonscriptibles et celles des quadrilatères inscriptibles. Les autres appellations de ces quadrilatères sont "quadrilatères tangents à la corde"^[1] et "quadrilatères inscrits et circonscrits". Ils sont aussi plus rarement appelés quadrilatères à double cercle ou quadrilatères à double inscription^[2].

Si deux cercles, l'un dans l'autre, sont le cercle inscrit et le cercle circonscrit d'un quadrilatère bicentrique, alors chaque point du cercle circonscrit est le sommet d'un quadrilatère bicentrique ayant le même cercle inscrit et le même cercle circonscrit^[3]. Il s'agit d'un cas particulier du porisme de Poncelet, qui a été démontré par le mathématicien français Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Cas particuliers

Des exemples de quadrilatères bicentriques sont donnés par les carrés (cas où les deux centres sont confondus), les cerfs-volants droits et les trapèzes circonscriptibles isocèles.

Caractérisations

Un quadrilatère convexe Modèle:Mvar de côtés Modèle:Mvar est bicentrique si et seulement si ses côtés opposés vérifient le théorème de Pitot pour les quadrilatères circonscriptibles et la propriété des quadrilatères inscriptible d'avoir des angles opposés supplémentaires ; soit,

{\begin{matrix} a + c = b + d \\ \hat{A} + \hat{C} = \hat{B} + \hat{D} = π . \end{matrix}

Trois autres caractérisations concernent les points de contact du cercle inscrit avec les côtés. Si le cercle inscrit du quadrilatère circonscriptible Modèle:Mvar est tangent aux côtés $[A B], [B C], [C D], [D A]$ en Modèle:Mvar respectivement, alors Modèle:Mvar est également inscriptible si et seulement si l'une des trois conditions suivantes est réalisée :

Modèle:Mvar est perpendiculaire à Modèle:Mvar
$\frac{A W}{W B} = \frac{D Y}{Y C}$
$\frac{A C}{B D} = \frac{A W + C Y}{B X + D Z}$ (Théorème de Mowaffaq Hajja^[4]Modèle:,^[5]).

La première de ces trois conditions équivaut au fait que le quadrilatère de contact Modèle:Mvar soit orthodiagonal^[6].

Si Modèle:Mvar sont respectivement les milieux de $[W X], [X Y], [Y Z], [Z W]$ , alors le quadrilatère circonscriptible Modèle:Mvar est aussi inscriptible si et seulement si le quadrilatère Modèle:Mvar est un rectangle.

Selon une autre caractérisation, si Modèle:Mvar est le centre d'un quadrilatère circonscriptible et les prolongements des côtés opposés se coupent en Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, le quadrilatère est aussi inscriptible si et seulement si l'angle $\hat{J I K}$ est droit.

Enfin, une autre condition nécessaire et suffisante pour qu'un quadrilatère circonscriptible Modèle:Mvar soit inscriptible est que sa droite de Newton soit perpendiculaire à la droite de Newton de son quadrilatère de contact Modèle:Mvar . (La droite de Newton d'un quadrilatère est la droite passant par les milieux des diagonales.)

Construction

Il existe une méthode simple pour construire un quadrilatère bicentrique :

On commence par le cercle inscrit Modèle:Mvar de centre Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Mvar, puis on trace deux cordes perpendiculaires [[[:Modèle:Mvar]]] et [[[:Modèle:Mvar]]] de ce cercle. À leurs extrémités, on trace les tangentes Modèle:Mvar au cercle inscrit. Celles-ci se coupent en quatre points Modèle:Mvar, qui sont les sommets d'un quadrilatère bicentrique^[7]. Pour tracer le cercle circonscrit, on trace les deux médiatrices Modèle:Formule des côtés Modèle:Mvar, Modèle:Mvar du quadrilatère bicentrique, Elles se coupent au centre Modèle:Mvar du cercle circonscrit Modèle:Mvar , à la distance Modèle:Mvar du centre Modèle:Mvar du cercle inscrit Modèle:Mvar . Le cercle circonscrit peut être tracé à partir de son centre Modèle:Mvar.

La validité de cette construction repose sur le fait que dans un quadrilatère circonscriptible Modèle:Mvar, le quadrilatère de contact Modèle:Mvar a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si le quadrilatère circonscriptible est aussi inscriptible^[6]Modèle:,^[8].

Aire

Formules d'aire en fonction de quatre paramètres

L'aire Modèle:Mvar d'un quadrilatère bicentrique peut être exprimée en fonction de quatre paramètres du quadrilatère de plusieurs manières différentes.

Si les côtés sont de longueurs Modèle:Mvar, l'aire est donnée par^[9]Modèle:,^[10]Modèle:,^[11]

S = \sqrt{a b c d} .

C'est un cas particulier de la formule de Brahmagupta. Cette formule peut également être obtenue directement à partir de la formule trigonométrique de l'aire d'un quadrilatère circonscriptible. Il faut remarquer que l'inverse n'est pas vrai : certains quadrilatères non bicentriques ont également une aire égale à Modèle:Math. Le rectangle non carré constitue un exemple d'un tel quadrilatère^[12].

L'aire peut également être exprimée à partir des quatre distances des points de contact aux sommets Modèle:Mvar^[13] Modèle:Rp :

S = \sqrt[4]{e f g h} (e + f + g + h) .

Une autre formule pour l'aire du quadrilatère bicentrique Modèle:Mvar de centre de cercle inscrit Modèle:Mvar est :

S = A I \cdot C I + B I \cdot D I .

En fonction des longueurs Modèle:Mvar des cordes joignant les points de contact et des longueurs Modèle:Mvar des diagonales, l'aire est donnée par^[13]Modèle:Rp:

S = \frac{k l p q}{k^{2} + l^{2}} .

Si Modèle:Mvar sont les longueurs des bimédianes du quadrilatère et Modèle:Mvar définis précédemment, l'aire est

S = | \frac{m^{2} - n^{2}}{k^{2} - l^{2}} | k l

Cette formule ne peut pas être utilisée si le quadrilatère est un cerf-volant droit, le dénominateur étant nul dans ce cas.

Si Modèle:Mvar sont les milieux des diagonales et Modèle:Mvar les points d'intersection des extensions des côtés opposés, l'aire est donnée par

S = \frac{2 M N \cdot E I \cdot F I}{E F}

où Modèle:Mvar est le centre du cercle inscrit.

Formules en fonction de trois paramètres

L'aire d'un quadrilatère bicentrique peut être exprimée en fonction de deux côtés opposés et de l'angle Modèle:Mvar entre les diagonales par

S = a c \tan \frac{θ}{2} = b d \cot \frac{θ}{2} .

En fonction de deux angles adjacents et du rayon Modèle:Mvar du cercle inscrit, l'aire est donnée par

S = 2 r^{2} (\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin B}) .

L'aire est donnée en fonction du rayon du cercle circonscrit Modèle:Mvar et de celui du cercle inscrit Modèle:Mvar par

S = r (r + \sqrt{4 R^{2} + r^{2}}) \sin θ

où Modèle:Mvar est l'un ou l'autre des angles entre les diagonales.

Si Modèle:Mvar sont les milieux des diagonales et Modèle:Mvar sont les points d'intersection des extensions des côtés opposés, alors l'aire peut également être exprimée par

S = 2 M N \sqrt{E Q \cdot F Q}

où Modèle:Mvar est le pied de la perpendiculaire à la droite (Modèle:Mvar) passant par le centre du cercle inscrit.

Inégalités

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont respectivement le rayon du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit, alors l'aire Modèle:Mvar vérifie les inégalités^[14]

4 r^{2} ⩽ S ⩽ 2 R^{2} .

Il n'y a égalité de part et d'autre que si le quadrilatère est un carré.

Une autre inégalité pour l'aire est^[15] Modèle:Rp

S ⩽ \frac{4}{3} r \sqrt{4 R^{2} + r^{2}}

Une inégalité similaire donnant une borne supérieure plus nette pour l'aire que la précédente est

S ⩽ r (r + \sqrt{4 R^{2} + r^{2}})

avec égalité si et seulement si le quadrilatère est un cerf-volant droit.

De plus, notant Modèle:Mvar le demi-périmètre^[15]Modèle:Rp :

2 \sqrt{S} ⩽ p ⩽ r + \sqrt{r^{2} + 4 R^{2}};

6 S ⩽ a b + a c + a d + b c + b d + c d ⩽ 4 r^{2} + 4 R^{2} + 4 r \sqrt{r^{2} + 4 R^{2}};

^[15]Modèle:Rp

4 S r^{2} ⩽ a b c d ⩽ \frac{16}{9} r^{2} (r^{2} + 4 R^{2}) .

Formules d'angles

Si Modèle:Mvar sont respectivement les longueurs des côtés $[A B], [B C], [C D], [D A]$ d'un quadrilatère bicentrique Modèle:Mvar, ses angles aux sommets s'expriment à l'aide de la fonction tangente :

\begin{matrix} \tan \frac{A}{2} & = \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{b c}{a d}}, \\ \tan \frac{B}{2} & = \cot \frac{D}{2} = \sqrt{\frac{c d}{a b}} . \end{matrix}

En utilisant les mêmes notations, à l'aide des fonctions sinus et cosinus, on obtient :

\begin{matrix} \sin \frac{A}{2} & = \cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{b c}{a d + b c}}, \\ \cos \frac{A}{2} & = \sin \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{a d}{a d + b c}}, \\ \sin \frac{B}{2} & = \cos \frac{D}{2} = \sqrt{\frac{c d}{a b + c d}}, \\ \cos \frac{B}{2} & = \sin \frac{D}{2} = \sqrt{\frac{a b}{a b + c d}} . \end{matrix}

L'angle Modèle:Mvar entre les diagonales peut être calculé à partir de^[10]

\tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{b d}{a c}} .

Rayon des cercles inscrit et circonscrit

Le rayon du cercle inscrit Modèle:Mvar d'un quadrilatère bicentrique est déterminé par les côtés Modèle:Mvar par^[9]

r = \frac{\sqrt{a b c d}}{a + c} = \frac{\sqrt{a b c d}}{b + d} .

Le rayon du cercle circonscrit Modèle:Mvar est donné comme un cas particulier de la formule de Parameshvara^[9]:

R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(a b + c d) (a c + b d) (a d + b c)}{a b c d}} .

Le rayon du cercle inscrit peut également être exprimé en fonction des quatre distances des points de contact aux sommets Modèle:Mvar par^[16] Modèle:Rp

r = \sqrt{e g} = \sqrt{f h} .

Ces deux formules sont en fait des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un quadrilatère circonscriptible de rayon Modèle:Mvar soit inscriptible.

Les quatre côtés Modèle:Mvar d'un quadrilatère bicentrique sont les quatre solutions de l'équation de degré 4

y^{4} - 2 s y^{3} + (p^{2} + 2 r^{2} + 2 r \sqrt{4 R^{2} + r^{2}}) y^{2} - 2 r p (\sqrt{4 R^{2} + r^{2}} + r) y + r^{2} p^{2} = 0

où Modèle:Mvar est le demi-périmètre, et Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont respectivement les rayons des cercles inscrit et circonscrit^[17] Modèle:Rp.

S'il existe un quadrilatère bicentrique de rayon Modèle:Mvar dont les quatre distances des points de contact aux sommets sont Modèle:Mvar, alors il existe un quadrilatère bicentrique de rayon Modèle:Mvar dont les distances de contact sont Modèle:Math où Modèle:Mvar est un nombre réel quelconque^[18]Modèle:Rp.

Un quadrilatère bicentrique a un rayon de cercle inscrit plus grand que tout autre quadrilatère circonscriptible ayant la même suite de longueurs de côtés^[19]Modèle:Rp.

Inégalités

Le rayon du cercle circonscrit Modèle:Mvar et celui du cercle inscrit Modèle:Mvar satisfont à l'inégalité

R ⩾ \sqrt{2} r

qui a été prouvé par L. Fejes Tóth en 1948^[18]. L'égalité n'est atteinte que lorsque les deux cercles sont concentriques (ont le même centre), soit lorsque le quadrilatère est un carré. L'inégalité peut être prouvée de plusieurs manières différentes, l'une utilisant la double inégalité pour l'aire vue ci-dessus.

Une extension de l'inégalité précédente est^[20] Modèle:Rp

\frac{r \sqrt{2}}{R} ⩽ \frac{1}{2} (\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2} \cos \frac{D}{2} + \sin \frac{D}{2} \cos \frac{A}{2}) ⩽ 1

où il y a égalité de chaque côté si et seulement si le quadrilatère est un carré. Modèle:Rp

Le demi-périmètre Modèle:Mvar d'un quadrilatère bicentrique satisfait^[18] Modèle:Rp

\sqrt{8 r (\sqrt{4 R^{2} + r^{2}} - r)} ⩽ p ⩽ \sqrt{4 R^{2} + r^{2}} + r

De plus^[15], Modèle:Rp

2 p r^{2} ⩽ a b c + a b d + a c d + b c d ⩽ 2 r (r + \sqrt{r^{2} + 4 R^{2}})^{2}

et^[15]Modèle:Rp

a b c + a b d + a c d + b c d ⩽ 2 \sqrt{S} (S + 2 R^{2}) .

Distance entre les centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit

Théorème de Fuss

Le théorème de Fuss donne une relation entre le rayon du cercle inscrit Modèle:Mvar, le rayon du cercle circonscrit Modèle:Mvar et la distance Modèle:Mvar entre le centre du cercle inscrit Modèle:Mvar et le centre du cercle circonscrit Modèle:Mvar, pour tout quadrilatère bicentrique. La relation de Fuss est^[1]Modèle:,^[11]Modèle:,^[21]

\frac{1}{(R - x)^{2}} + \frac{1}{(R + x)^{2}} = \frac{1}{r^{2}},

ou de manière équivalente

2 r^{2} (R^{2} + x^{2}) = (R^{2} - x^{2})^{2}

,

ou encore

(R + r + x) (R + r - x) (R - r + x) (R - r - x) = r^{4}

.

Elle a été établie par Nicolas Fuss (1755–1826) en 1792. La résolution en Modèle:Mvar donne

x = \sqrt{R^{2} + r^{2} - r \sqrt{4 R^{2} + r^{2}}} .

Par exemple, pour $R / r = 2$ , $x / r = \sqrt{5 - \sqrt{17}} \approx 0, 93$ .

La relation de Fuss, qui est l'analogue de la relation d'Euler dans le triangle pour le quadrilatère bicentrique, dit que si un quadrilatère est bicentrique, ses deux cercles associés sont liés par cette relation. En fait, la réciproque est également vraie : étant donné deux cercles (l'un dans l'autre) de rayons Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et de distance Modèle:Mvar entre leurs centres satisfaisant la condition du théorème de Fuss, il existe un quadrilatère convexe inscrit dans l'un d'eux et tangent à l'autre (puis, par le grand théorème de Poncelet, il en existe une infinité)^[22].

Il existe des relations similaires pour les polygones bicentriques quelconques.

Écrire $x^{2} ⩾ 0$ dans l'expression de la relation de Fuss est une autre façon d'obtenir l'inégalité mentionnée ci-dessus $R ⩾ \sqrt{2} r .$ Une généralisation est^[18] Modèle:Rp

2 r^{2} + x^{2} ⩽ R^{2} ⩽ 2 r^{2} + x^{2} + 2 r x .

Identité de Carlitz

Une autre formule pour la distance Modèle:Mvar entre les centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit est due au mathématicien américain Leonard Carlitz (1907–1999). Il obtient que^[23]

x^{2} = R^{2} - 2 R r \cdot μ

avec

μ = \sqrt{\frac{(a b + c d) (a d + b c)}{(a + c)^{2} (a c + b d)}} = \sqrt{\frac{(a b + c d) (a d + b c)}{(b + d)^{2} (a c + b d)}}

où Modèle:Mvar sont les longueurs des côtés du quadrilatère bicentrique.

Inégalités

Les longueurs Modèle:Mvar vérifient les inégalités suivantes^[18] Modèle:Rp:

4 r ⩽ e + f + g + h ⩽ 4 r \cdot \frac{R^{2} + x^{2}}{R^{2} - x^{2}}

et

4 r^{2} ⩽ e^{2} + f^{2} + g^{2} + h^{2} ⩽ 4 (R^{2} + x^{2} - r^{2})

Les longueurs des côtés Modèle:Mvar vérifient les inégalités^[18] Modèle:Rp :

8 r ⩽ a + b + c + d ⩽ 8 r \cdot \frac{R^{2} + x^{2}}{R^{2} - x^{2}}

et

4 (R^{2} - x^{2} + 2 r^{2}) ⩽ a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} ⩽ 4 (3 R^{2} - 2 r^{2}) .

Autres propriétés du centre du cercle inscrit

Le centre du cercle circonscrit, le centre du centre inscrit et le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère bicentrique sont alignés^[24].

On a l'égalité suivante reliant les quatre distances entre le centre Modèle:Mvar et les sommets d'un quadrilatère bicentrique Modèle:Mvar^[25] :

\frac{1}{A I^{2}} + \frac{1}{C I^{2}} = \frac{1}{B I^{2}} + \frac{1}{D I^{2}} = \frac{1}{r^{2}}

Si Modèle:Mvar est le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère bicentrique Modèle:Mvar de centre Modèle:Mvar, alors^[26]

\frac{A P}{C P} = \frac{A I^{2}}{C I^{2}} .

Une inégalité concernant les rayons du cercle inscrit Modèle:Mvar et celui du cercle circonscrit Modèle:Mvar dans un quadrilatère bicentrique Modèle:Mvar est^[27]

4 r^{2} ⩽ A I \cdot C I + B I \cdot D I ⩽ 2 R^{2}

Propriétés des diagonales

Les longueurs des diagonales dans un quadrilatère bicentrique peuvent être exprimées en fonction des côtés ou des distances des points de contact aux sommets (formules valables respectivement dans un quadrilatère inscriptible et un quadrilatère circonscriptible).

Dans un quadrilatère bicentrique de diagonales de longueurs Modèle:Mvar, on a de plus l'identité suivante^[11] :

\frac{p q}{4 r^{2}} - \frac{4 R^{2}}{p q} = 1

Cette égalité peut être réécrite en

r = \frac{p q}{2 \sqrt{p q + 4 R^{2}}}

ou, en la résolvant comme une équation du second degré en le produit des diagonales, sous la forme

p q = 2 r (r + \sqrt{4 R^{2} + r^{2}}) .

Une inégalité pour le produit des diagonales Modèle:Mvar dans un quadrilatère bicentrique est^[14].

8 p q ⩽ (a + b + c + d)^{2}

où Modèle:Mvar sont les longueurs des côtés. Cela a été prouvé par Murray S. Klamkin en 1967.

Quatre centres de cercles inscrits sont cocycliques

Dans un quadrilatère bicentrique Modèle:Mvar de centre de cercle circonscrit Modèle:Mvar, les centres des cercles inscrits dans les quatre triangles Modèle:Formule sont cocycliques^[28].

Modèle:Clr

Articles connexes

Références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références Modèle:Palette Polygones Modèle:Portail

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[27] Post at Art of Problem Solving, 2009

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Quadrilatère bicentrique

Sommaire

Cas particuliers

Caractérisations

Construction

Aire

Formules d'aire en fonction de quatre paramètres

Formules en fonction de trois paramètres

Inégalités

Formules d'angles

Rayon des cercles inscrit et circonscrit

Inégalités

Distance entre les centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit

Théorème de Fuss

Identité de Carlitz

Inégalités

Autres propriétés du centre du cercle inscrit

Propriétés des diagonales

Quatre centres de cercles inscrits sont cocycliques

Articles connexes

Références

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Quadrilatère bicentrique

Cas particuliers

Caractérisations

Construction

Aire

Formules d'aire en fonction de quatre paramètres

Formules en fonction de trois paramètres

Inégalités

Formules d'angles

Rayon des cercles inscrit et circonscrit

Inégalités

Distance entre les centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit

Théorème de Fuss

Identité de Carlitz

Inégalités

Autres propriétés du centre du cercle inscrit

Propriétés des diagonales

Quatre centres de cercles inscrits sont cocycliques

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