Projet:Les Mille Pages/Mahāvīra (mathématicien)

Mahāvīra (ou Mahaviracharya, "Mahavira le Maître") est un Jaïn du Modèle:IXe siècle. Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Il est l'autrice du Gaṇitasārasan̄graha (Ganita Sara Sangraha) ou le Compendium sur l'essentiel des mathématiques en 850 après J.-C. Modèle:Sfn. Il est parrainé par le roi Rashtrakuta Amoghavarsha.Modèle:Sfn. Il a séparé l'astrologie des mathématiques. C'est le plus ancien texte indien entièrement consacré aux mathématiques Il a exposé les mêmes sujets sur lesquels Aryabhata et Brahmagupta se disputaient, mais il les a exprimés plus clairement. Son œuvre est une approche très syncopée de l'algèbre et l'accent est mis, dans une grande partie de son texte, sur le développement des techniques nécessaires à la résolution des problèmes algébriques.Il est très respecté parmi les mathématiciens indiens, en raison de son établissement d'une terminologie pour des concepts tels que le triangle équilatéral, et isocèle ; le losange ; le cercle et le demi-cercle. L'éminence de Mahāvīra s'est répandue dans toute l'Inde du Sud et ses livres se sont avérés être une source d'inspiration pour d'autres mathématiciens de l'Inde du Sud.Modèle:Sfn Il est traduit en langue telugu par Pavuluri Mallana sous le titre de Saara Sangraha Ganitamu..

Il découvre des identités algébriques telles que a³ = a (a + b) (a &minus ; b) + b² (a &minus ; b) + b³.Modèle:Sfn Il a également trouvé la formule pour ⁿC_r comme
[n (n &minus ; 1) (n &minus ; 2) . .. (n &minus ; r + 1)] / [r (r &minus ; 1) (r &minus ; 2) ... 2 * 1].Modèle:Sfn Il a conçu une formule qui donne une approximation de l'aire et des périmètres des ellipses et a trouvé des méthodes pour calculer le carré d'un nombre et les racines cubiques d'un nombre.Modèle:Sfn Il a affirmé que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.Modèle:Sfn

Règles de décomposition des fractions

Le Gaṇita-sāra-saṅgraha de Mahāvīra a donné des règles systématiques pour exprimer une fraction comme la somme des fractions unitaires. Celfait suite à l'utilisation des fractions unitaires en mathématiques indiennes à l'époque védique, et aux Śulba Sūtras' donnant une approximation de Modèle:Radic équivalente à $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}.-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}$Modèle:,.

Dans le Gaṇita-sāra-saṅgraha (GSS), la deuxième section du chapitre sur l'arithmétique est nommée kalā-savarṇa-vyavahāra (lit. "l'opération de la réduction des fractions"). En cela, la section bhāgajāti (versets 55-98) donne les règles suivantes :

• Pour exprimer 1 comme somme de n fractions unitaires (GSS kalāsavarṇa 75, exemples en 76) :

Modèle:Citation {{Citation|Lorsque le résultat est un, les dénominateurs des quantités ayant un comme numérateurs sont [les nombres] commençant par un et multipliés par trois, dans l'ordre. Le premier et le dernier sont multipliés par deux et deux tiers [respectivement].

$1=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{3^{n-2}}+\frac{1}{\frac{2}{3}\cdot 3^{n-1}}$

• Pour exprimer 1 comme la somme d'un nombre impair de fractions unitaires (GSS kalāsavarṇa 77) :

$1=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 1/2}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 1/2}+\dots +\frac{1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}+\frac{1}{2n\cdot 1/2}$

• Pour exprimer une fraction unitaire $1/q$ comme la somme de n autres fractions aux numérateurs donnés $a_1,a_2,\dots ,a_n$ (GSS kalāsavarṇa 78, exemples en 79) :

$\frac{1}{q}=\frac{a_1}{q(q+a_1)}+\frac{a_2}{(q+a_1)(q+a_1+a_2)}+\dots +\frac{a_{n-1}}{(q+a_1+\dots +a_{n-2})(q+a_1+\dots +a_{n-1})}+\frac{a_n}{a_n(q+a_1+\dots +a_{n-1})}$

• Pour exprimer toute fraction $p/q$ comme une somme de fractions unitaires (GSS kalāsavarṇa 80, exemples en 81) :

Choisir un entier i tel que $\frac{q+i}{p}$ est un entier r, puis écrire.

$\frac{p}{q}=\frac{1}{r}+\frac{i}{r\cdot q}$

et répétez le processus pour le second terme, de manière récursive. (Notez que si i est toujours choisi pour être le plus petit de ces entiers, ceci est identique à l'algorithme greedy algorithm for Egyptian fractions).

• Pour exprimer une fraction unitaire comme la somme de deux autres fractions unitaires (GSS kalāsavarṇa 85, exemple en 86) :

$\frac{1}{n}=\frac{1}{p\cdot n}+\frac{1}{\frac{p\cdot n}{n-1}}$ where $p$ is to be chosen such that $\frac{p\cdot n}{n-1}$ is an integer (for which $p$ must be a multiple of $n-1$).

$\frac{1}{a\cdot b}=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}$

• Pour exprimer une fraction $p/q$ comme la somme de deux autres fractions dont les numérateurs $a$ et $b$ sont donnés (GSS kalāsavarṇa 87, exemple en 88) :

$\frac{p}{q}=\frac{a}{\frac{ai+b}{p}\cdot \frac{q}{i}}+\frac{b}{\frac{ai+b}{p}\cdot \frac{q}{i}\cdot i}$ where $i$ is to be chosen such that $p$ divides $ai+b$

Quelques règles supplémentaires ont été données dans le Gaṇita-kaumudi de Narayana Pandit au Modèle:14e siècle.

Voir aussi

• Liste des mathématiciens indiens.

Références

• Bibhutibhusan Datta et Avadhesh Narayan Singh (1962). History of Hindu Mathematics : A Source Book.
• Modèle:DSB. (Disponible, avec de nombreuses autres entrées d'autres encyclopédies pour d'autres Mahāvīra-s, online).
• Modèle:Article
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• Modèle:Biographie MacTutor
• Modèle:Article
• Modèle:Article
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Voir aussi

Liens externes

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