Nombre noncototient
En mathématiques, un nombre noncototient est un entier strictement positif n qui ne peut pas s'écrire sous la forme Modèle:Formule où Modèle:Mvar est la fonction cototient définie par Modèle:Formule où φ est l'indicatrice d'Euler (ou fonction totient). C'est un nombre qui ne peut pas représenter le nombre d'entiers différents de 1 et plus petit qu'un entier Modèle:Mvar et possédant avec Modèle:Mvar des diviseurs communs.
Il a été conjecturé que tous les nombres noncototients étaient pairs, ou formulé de manière équivalente qu'aucun nombre impair ne peut être noncototient[1]. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors
Plus précisément, en supposant que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, on démontrerait ainsi que tout nombre impair plus grand que 5 présente une solution à l'équation et qu'aucun n'est noncototient. Les nombres impairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 – φ(2), 3 = 9 – φ(9) et 5 = 25 – φ(25).
La suite des nombres noncototients (Modèle:OEIS) commence par : 10, 26, 34, 50, 52.
Paul Erdős et Wacław Sierpiński se sont demandé s'il existe une infinité de nombres noncototients. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par Modèle:Lien et Andrzej Schinzel (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2k.509 203 est un noncototient. Depuis, Flammenkamp et Luca[2] ont trouvé d'autres suites infinies, analogues, de noncototients.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références