Polynômes orthogonaux multiples

Les polynômes orthogonaux multiples (POM) sont des polynômes orthogonaux dans une variable qui satisfait le critère d'orthogonalité par rapport à une famille finie de mesures ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_r$. Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les polynômes orthogonaux multivariables. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées type 1 et type 2.

Dans la littérature, les polynômes orthogonaux multiples sont également appelés $d$-polynômes orthogonaux, polynômes de Hermite-Padé ou polynômes polyorthogonaux.

Polynômes orthogonaux multiples

Soit $\overrightarrow{n}=(n_1,\dots ,n_r)\in {\mathbb{N}}^r$ un multi-indice et ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_r$ sont measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, $|\overrightarrow{n}|:=n_1+n_2+\cdots +n_r$.

POM de type 1

Les polynômes de type 1 sont notés comme $A_{\overrightarrow{n},j}$ pour $j=1,2,\dots ,r$ et écrits comme a vecteur $(A_{\overrightarrow{n},1},A_{\overrightarrow{n},2},\dots ,A_{\overrightarrow{n},r})$, où le $j$ème polynôme $A_{\overrightarrow{n},j}$ peut être au plus de degré $n_j-1$. De plus, ils doivent vérifier :

$\sum _{j=1}^r\underset{ℝ}{\int }{x}^k{A}_{\overrightarrow{n},j}d{\mu }_j(x)=0,k=0,1,2,\dots ,|\overrightarrow{n}|-2,$

et

$\sum _{j=1}^r\underset{ℝ}{\int }{x}^{|\overrightarrow{n}|-1}{A}_{\overrightarrow{n},j}d{\mu }_j(x)=1.$

On a donc un système d'équations $|\overrightarrow{n}|$ pour les $|\overrightarrow{n}|$ coefficients des polynômes $A_{\overrightarrow{n},1},A_{\overrightarrow{n},2},\dots ,A_{\overrightarrow{n},r}$ défini.

POM de type 2

Un polynôme $P_{\overrightarrow{n}}(x)$ est de type 2 s'il est monique et de degré $|\overrightarrow{n}|$ et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :

$\underset{ℝ}{\int }{P}_{\overrightarrow{n}}(x)x^{k}d{\mu }_j(x)=0,k=0,1,2,\dots ,n_j-1,j=1,\dots ,r.$

Remarques

Si on écrit toutes les équations $j=1,\dots ,r$, on obtient la définition suivante du POM de type 2

$\underset{ℝ}{\int }{P}_{\overrightarrow{n}}(x)x^{k}d{\mu }_1(x)=0,k=0,1,2,\dots ,n_1-1$

$\underset{ℝ}{\int }{P}_{\overrightarrow{n}}(x)x^{k}d{\mu }_2(x)=0,k=0,1,2,\dots ,n_2-1$

$⋮$

$\underset{ℝ}{\int }{P}_{\overrightarrow{n}}(x)x^{k}d{\mu }_r(x)=0,k=0,1,2,\dots ,n_r-1$

Bibliographie

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