Invariant cohomologique

En mathématiques, un invariant cohomologique d'un groupe algébrique Modèle:Mvar sur un corps est un invariant des formes de Modèle:Mvar à valeurs dans un groupe de cohomologie galoisienne.

Définition

Soit Modèle:Mvar un groupe algébrique défini sur un corps Modèle:Mvar. On choisit un corps séparablement clos Modèle:Mvar contenant Modèle:Mvar. Pour une extension finie Modèle:Mvar de Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar soit Modèle:Mvar le groupe de Galois absolu de Modèle:Mvar. Le premier groupe de cohomologie $H^1(L,G)=H^1({\mathrm{\Gamma }}_L,G)$ est un ensemble qui classe les Modèle:Mvar-torseurs sur Modèle:Mvar ; il est fonctoriel en Modèle:Mvar.

Un invariant cohomologique de Modèle:Mvar de dimension Modèle:Mvar à valeurs dans un Modèle:Mvar-module Modèle:Mvar est une transformation naturelle des foncteurs (par rapport à Modèle:Mvar) de $H^1(L,G)$ vers $H^d(L,M)$.

Autrement dit, un invariant cohomologique associe de façon naturelle un élément d'un groupe de cohomologie abélienne à un élément d'un ensemble de cohomologie non abélienne.

Plus généralement, si Modèle:Mvar est un foncteur quelconque des extensions finies d'un corps vers les ensembles, alors un invariant cohomologique de Modèle:Mvar de dimension Modèle:Mvar à valeurs dans un Modèle:Mvar-module Modèle:Mvar est une transformation naturelle de foncteurs (de Modèle:Mvar) de Modèle:Mvar vers $H^d(L,M)$.

Étant donné un groupe Modèle:Mvar ou un foncteur Modèle:Mvar, une dimension Modèle:Mvar et un module galoisien Modèle:Mvar, les invariants cohomologiques forment un groupe abélien noté ${\mathrm{Inv}}^d(G,M)$ ou ${\mathrm{Inv}}^d(A,M)$.

Exemples

• Soit Modèle:Mvar le foncteur qui envoie un corps vers l'ensemble des classes d'isomorphisme d'algèbres de dimension Modèle:Mvar qui sont étales sur ce corps. Les invariants cohomologiques à coefficients dans ℤ/2ℤ forment un module libre sur la cohomologie de Modèle:Mvar ayant pour base des éléments de degrés 0, 1, 2,..., Modèle:Mvar où Modèle:Mvar est la partie entière de Modèle:Mvar/2.
• L'Modèle:Lien d'une forme quadratique est essentiellement un invariant cohomologique de dimension 2 du groupe spinoriel correspondant, à valeurs dans un groupe d'ordre 2.
• Si Modèle:Mvar est un quotient d'un groupe par un sous-groupe central fini lisse Modèle:Mvar, alors l'application de bord de la suite exacte correspondante donne un invariant cohomologique de dimension 2 à valeurs dans Modèle:Mvar. Si Modèle:Mvar est un groupe spécial orthogonal et si le recouvrement est le groupe spinoriel alors l'invariant correspondant est essentiellement l'invariant de Hasse-Witt.
• Si Modèle:Mvar est le groupe orthogonal d'une forme quadratique en caractéristique différente de 2, on dispose de classes de Stiefel-Whitney pour chaque dimension positive, qui sont des invariants cohomologiques à valeurs dans ℤ/2ℤ. (Ce ne sont pas les classes topologiques de Stiefel-Whitney d'un fibré vectoriel réel mais ce sont leurs analogues pour les fibrés vectoriels sur un schéma.) En dimension 1 c'est essentiellement le discriminant et en dimension 2 c'est essentiellement l'invariant de Hasse-Witt.
• L'Modèle:Lien Modèle:Math est un invariant de dimension 3 de certaines formes quadratiques paires Modèle:Mvar ayant un discriminant trivial et un invariant de Hasse-Witt trivial. Il est à valeurs dans ℤ/2ℤ. Il peut être utilisé pour construire un invariant cohomologique de dimension 3 du groupe spinoriel correspondant comme suit. Si Modèle:Mvar est dans $H^1(K,\mathrm{Spin}(q))$ et Modèle:Mvar est la forme quadratique correspondant à l'image de Modèle:Mvar dans $H^1(K,O(q))$, alors Modèle:Math est la valeur de l'invariant cohomologique de dimension 3 sur Modèle:Mvar.
• L'invariant de Merkurjev-Suslin est un invariant de dimension 3 d'un groupe linéaire particulier d'une algèbre centrale simple de rang Modèle:Mvar, à valeurs dans le carré tensoriel du groupe des racines Modèle:Mvar-ièmes de l'unité. Lorsque Modèle:Mvar = 2, il s'agit essentiellement de l'invariant d'Arason.
• Pour des groupes simplement connexes absolument simples Modèle:Mvar, l'Modèle:Lien est un invariant de dimension 3 à valeurs dans ℚ/ℤ(2) qui généralise en quelque sorte l'invariant d'Arason et l'invariant de Merkurjev-Suslin à des groupes plus généraux.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article