Loi de Kesten-McKay

En théorie des probabilités, la loi de Kesten-McKay est une loi de probabilités utilisée en théorie des graphes.

Brendan Kesten établit que pour une suite de graphes aléatoires de degré Modèle:Math dont l'ordre n tend vers l'infini, les valeurs propres convergent simplement vers la loi de Kesten-McKay. Dans le même article, il montre que cette loi est celle que suivent les valeurs propres de tout graphe régulier étiqueté de degré Modèle:Mvar.

Définition

La fonction de densité de la loi de Kesten-McKay est :

$f_{KM}(x|d)=\frac{d}{2\pi }\frac{\sqrt{4(d-1)-x^2}}{d^2-x^2}11_{|x|⩽2\sqrt{d-1}}(x)$

Il s'agit d'un cas particulier de la loi de Kesten, définie par la densité :

$f_{KM}(x|d,q)=\frac{d}{2\pi }\frac{\sqrt{4(q-1)-x^2}}{d^2-(d-q)x^2}11_{|x|⩽2\sqrt{q}}(x)$

Propriétés

Moments

La densité de la loi de Kesten-McKay est paire, donc tous les moments d'ordre impair sont nuls et ceux d'ordre pair valent :

$𝔼(X^{2k})=d\sum _{i=0}^{k}C(k-1,i)d^{k-i-1}(d-1{)}^i$

où Modèle:Math est un nombre du triangle de Catalan.

Liens avec d'autres lois

Pour d tendant vers l'infini, la loi de Kesten-McKay tend vers la loi du demi-cercle.

Notes

Bibliographie

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