Inégalités maximales de Doob

Modèle:Orphelin En mathématiques, les inégalités maximales de Doob sont un résultat de l'étude des processus stochastiques. Elles donnent une limite à la probabilité qu'une sous-martingale dépasse une valeur donnée sur un intervalle de temps donné.

Enoncé

Soit $M_n$ une martingale, $|M_n|$ est alors une sous-martingale positive. On se restreint désormais à ce cadre.

On note $M_n^{*}=\underset{0\le k\le n}{\sup }{M}_k$, l'inégalité maximale de Doob se formule :

$\mathrm{\forall }a\in {ℝ}_{+}^{*},\mathbb{P}(M_n^{*}\ge a)\le \frac{𝔼[M_n]}{a}$

D'autres résultats peuvent être dérivés pour les variables $L^p$.

Démonstration

Soit $T$ le temps d'arrêt $\min \{k\in \mathbb{N}|M_k\ge a\}$

On décompose :

$𝔼[M_{T\wedge n}]=𝔼[\sum _{0\le k\le n}{M}_k{\mathrm{𝟙}}_{T=k}+M_{T\wedge n}{\mathrm{𝟙}}_{T>n}]\ge a\mathbb{P}[M_n^{*}>a]+𝔼[M_{T\wedge n}{\mathrm{𝟙}}_{T>n}]$

Puis : $a\mathbb{P}[M_n^{*}>a]\le 𝔼[M_{T\wedge n}{\mathrm{𝟙}}_{T\le n}]=𝔼[M_{T\wedge n}]$

Le théorème d'arrêt de Doob appliqué aux temps d'arrêts $T\wedge n\le n$ garantit $𝔼[M_{T\wedge n}]\le 𝔼[M_n]$

Finalement :

$\mathbb{P}[M_n^{*}>a]\le \frac{𝔼[M_n]}{a}$