Fonction de Riccati-Bessel

En analyse, les fonctions de Riccati–Bessel sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques, qui apparaissent en mécanique quantique dans la résolution de l'équation de Schrödinger avec une barrière cylindrique infinie hypothétique. Elles vérifient l'équation différentielle : $$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+(x^2-n(n+1))y=0.$$

Elles sont définies par :

$\begin{array}{cc}{S}_n(x)& =x{j}_n(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{J}_{n+\frac{1}{2}}(x)\\ C_n(x)& =-x{y}_n(x)=-\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{Y}_{n+\frac{1}{2}}(x)\\ {\xi }_n(x)& =x{h}_n^{(1)}(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{H}_{n+\frac{1}{2}}^{(1)}(x)=S_n(x)-\mathrm{i}{C}_n(x)\\ {\zeta }_n(x)& =x{h}_n^{(2)}(x)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{H}_{n+\frac{1}{2}}^{(2)}(x)=S_n(x)+\mathrm{i}{C}_n(x)\end{array}$

Fonctions de Riccati–Bessel SModèle:Ind sur le plan complexe

Avec les travaux de Peter DebyeModèle:,, on note parfois Modèle:Mvar et Modèle:Mvar au lieu de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar respectivement.

Premières fonctions

On a :

$\begin{array}{cccc}{S}_0(x)=\sin x,& & C_0(x)=\cos x,& \\ S_1(x)=\frac{\sin x}{x}-\cos x,& & C_1(x)=\frac{\cos x}{x}+\sin x,& \\ S_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{x}{S}_n(x)-S_{n-1}(x),& & C_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{x}{C}_n(x)-C_{n-1}(x),& \mathrm{\forall }n⩾0\end{array}$

Développements en série

Les fonctions de Riccati-Bessel ont pour développements en série entière :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},S_n(x)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{n+2k+1}}{(2k)!!(2n+2k+1)!!},C_n(x)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+k}{x}^{2k-n}}{(2k)!!(2k-2n-1)!!}$

où, pour un entier p, p!! désigne la double factorielle.

Application

L'équation différentielle apparait dans le problème de diffraction d'ondes électromagnétiques par une sphère, ce qu'on appelle la diffraction de Mie depuis que Gustav Mie a publié la première solution en 1908.

Articles connexes

• Friedrich Wilhelm Bessel
  • Fonction de Bessel
• Hermann Hankel
  • Fonction de Hankel

Liens externes

• Modèle:Mathworld
• Modèle:DLMF