Séparatrice

En mathématiques, une séparatrice est la frontière séparant deux modes de comportement des solutions d'une équation différentielle.

Exemples

Pendule simple

Soit l'équation différentielle décrivant le mouvement d'un pendule simple :

$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$

où $\ell$ désigne la longueur du pendule, $g$ l'accélération de pesanteur et $\theta$ l'angle entre le pendule et la verticale. Dans ce système, la quantité Modèle:Mvar donnée par l'équation ci-dessous, appelée hamiltonien, est conservée :

$H=\frac{{\dot{\theta }}^2}{2}-\frac{g}{\ell }\cos \theta .$

Ceci posé, on peut tracer une courbe à Modèle:Mvar constant dans l'espace des phases du système. L'espace des phases est représenté par un graphique avec $\theta$ le long de l'axe horizontal et $\dot{\theta }$ sur l’axe vertical (schéma à droite). Le type de courbe résultante dépend de la valeur de Modèle:Mvar .

L'espace des phases pour le pendule simple. La séparatrice (en rouge) sépare les trajectoires oscillantes du pendule (à l'intérieur), de celles qui correspondent à des rotations complètes autour du point d'attache (à l'extérieur).

• Si $H<-\frac{g}{\ell }$ alors aucune courbe n'existe (car $\dot{\theta }$ est alors imaginaire).
• Si $-\frac{g}{\ell }<H<\frac{g}{\ell }$ alors la courbe sera une courbe simple fermée, presque circulaire pour Modèle:Mvar petit, et prend la forme d'un « œil » lorsque Modèle:Mvar s'approche de la limite supérieure. Ces courbes correspondent au balancement périodique du pendule d’un côté à l’autre.
• Si $\frac{g}{\ell }<H$ alors la courbe est ouverte, et cela correspond au pendule décrivant un cercle complet autour de son point d'attache.

Dans ce système la séparatrice est la courbe qui correspond à $H=\frac{g}{\ell }$. Elle sépare Modèle:Incise l'espace des phases en deux zones distinctes, chacune avec un type de mouvement différent. La région à l'intérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule oscillant d'avant en arrière, tandis que la région à l'extérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule décrivant des cercles complets autour de son point d'attache.

Liens externes

• Séparatrice de MathWorld.