Structure de Hodge

En mathématiques, une structure de Hodge, du nom de William Hodge, vise à généraliser les données issues de la théorie de Hodge dans le cas d'une variété kählérienne lisse et compacte. Les structures de Hodge ont été généralisées à toutes les variétés complexes (même singulières et incomplètes) sous la forme de Modèle:Lien, définies par Modèle:Harvard. Une variation de structure de Hodge est une famille de structures de Hodge paramétrées par une variété, étudiée pour la première fois par Modèle:Harvard. Tous ces concepts ont ensuite été généralisés aux modules de Hodge mixtes sur des variétés complexes par Modèle:Harvard.

Structures de Hodge

Une structure de Hodge pure de poids entier n est la donnée d'un groupe abélien $H_{\mathbb{Z}}$ et d'une décomposition de sa complexification H en une somme directe de sous-espaces complexes $H^{p,q}$, où $p+q=n$, avec la propriété que le complexe conjugué de $H^{p,q}$ est $H^{q,p}$ :

$H:=H_{\mathbb{Z}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}ℂ=\underset{p+q=n}{⨁}{H}^{p,q},$

$\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}.$

Une définition équivalente est obtenue en remplaçant la décomposition en somme directe de H par la filtration de Hodge, une filtration finie décroissante de H par des sous-espaces complexes $F^{p}H(p\in \mathbb{Z}),$ avec la condition

$\mathrm{\forall }p,q:p+q=n+1,F^{p}H\cap \overline{F^{q}H}=0\text{ et}{F}^{p}H\oplus \overline{F^{q}H}=H.$

La relation entre ces deux descriptions est donnée par :

$H^{p,q}=F^{p}H\cap \overline{F^{q}H},$

$F^{p}H=\underset{i\ge p}{⨁}{H}^{i,n-i}.$

Par exemple, si X est une variété kählérienne compacte, $H_{\mathbb{Z}}=H^n(X,\mathbb{Z})$ est le n-ième groupe de cohomologie de X à coefficients entiers, alors $H=H^n(X,ℂ)$ est son n-ième groupe de cohomologie à coefficients complexes et la théorie de Hodge fournit la décomposition de H en une somme directe comme ci-dessus, de sorte que ces données définissent une structure de Hodge pure de poids n.

Pour les applications en géométrie algébrique, à savoir la classification des variétés projectives complexes par leurs périodes, l'ensemble de toutes les structures de Hodge de poids n sur $H_{\mathbb{Z}}$ est trop grossier. On précise une donnée supplémentaire.

Une structure de Hodge polarisée de poids n est constituée d'une structure de Hodge $(H_{\mathbb{Z}},H^{p,q})$ et d'une forme bilinéaire entière non dégénérée Q sur $H_{\mathbb{Z}}$ (polarisation), qui s'étend à H par linéarité, et satisfaisant :

$\begin{array}{cc}Q(\phi ,\psi )& =(-1{)}^{n}Q(\psi ,\phi );\\ Q(\phi ,\psi )& =0& & \text{ pour }\phi \in H^{p,q},\psi \in H^{p^{\prime },q^{\prime }},p\ne q^{\prime };\\ i^{p-q}Q(\phi ,\overline{\phi })& >0& & \text{ pour }\phi \in H^{p,q},\phi \ne 0.\end{array}$

En termes de filtration de Hodge, ces conditions impliquent que

$\begin{array}{cc}Q(F^p,F^{n-p+1})& =0,\\ Q(C\phi ,\overline{\phi })& >0& & \text{ pour }\phi \ne 0,\end{array}$

où C est l'opérateur de Weil sur H, donné par $C=i^{p-q}$ sur $H^{p,q}$.

Variation de structure de Hodge

Une variation de structure de Hodge (Modèle:Harvsp, Modèle:Harvsp, Modèle:Harvsp) est une famille de structure de Hodge paramétrisée par une variété complexe X. C'est la donnée d'un faisceau en groupes localement constant S de type fini sur X, ainsi qu'une filtration de Hodge décroissante F sur S⊗O_X, telle que :

• la filtration induise une structure de Hodge de poids n sur S ;
• (transversalité de Griffiths) la connexion naturelle de S⊗O_X envoie $F^n$ dans $F^{n-1}\otimes {\mathrm{\Omega }}_X^1.$

La « connexion naturelle » de S⊗O_X induit par les connexions plates sur S et d sur O_X, et O_X est le faisceau holomorphe structural X, et ${\mathrm{\Omega }}_X^1$ est le faisceau des 1-formes sur X. Cette connexion plate est la connexion de Gauss-Manin ∇ et peut être décrite à l'aide des équations de Picard–Fuchs.

Bibliographie

Ouvrages introductifs

• Modèle:En Modèle:Ouvrage (fournit des outils pour le calcul des nombres de Hodge à partir de la cohomologie des faisceaux)
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Autres articles et ouvrages

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