Coniques de Mandart

En géométrie, les coniques de Mandart sont des coniques du triangle, nommées d'après H. Mandart, qui les a étudiées dans deux articles publiés à la fin du Modèle:S-Modèle:,Modèle:,.

Ellipse de Mandart

Modèle:Legend-line Modèle:Legend-line Modèle:Legend-line Modèle:Legend-line

LModèle:'ellipse inscrite de Mandart d'un triangle est l'ellipse située à l'intérieur du triangle, tangente aux points de contact des cercles exinscrits avec les côtés. C'est donc également l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle de Nagel du triangle de référence.

Propriétés

Le centre de l'ellipse de Mandart est le mittenpunkt du triangle. Son point de Brianchon (le point d'intersection des droites reliant les sommets du triangle aux points de tangence) est donc le point de Nagel du triangle.

Ses axes sont les droites parallèles aux asymptotes de l'hyperbole de Feuerbach passant par le mittenpunkt.

Comme conique inscrite, l'ellipse de Mandart est décrite par les paramètres en coordonnées homogènes

$x:y:z=\frac{a}{b+c-a}:\frac{b}{a+c-b}:\frac{c}{a+b-c}$

pour un un triangle de côtés a, b, c.

Cercle de Mandart

Le cercle de Mandart est le cercle circonscrit au triangle de Nagel. Le cercle et l'ellipse de Mandart se croisent donc aux trois sommets de ce triangle, mais aussi au point de Feuerbach du triangle.

C'est donc le cercle de Joachimsthal du point de Bevan.

Son centre est le point de nombre de Kimberling XModèle:Ind et son rayon est égal à :

$R_{\text{Mandart}}=\frac{s}{abc}\sqrt{(4R^2-bc)(4R^2-ca)(4R^2-ab)}.$

où Modèle:Mvar est le rayon du cercle circonscrit au triangle de référence et Modèle:Mvar son demi-périmètre.

Triangles de Mandart

On considère un triangle ABC et son triangle médian AModèle:'BModèle:'CModèle:'. Pour un réel t, on place sur la médiatrice de [AB] le point PModèle:Ind tel que Modèle:Math et tel que si Modèle:Nobr, le point est à l'extérieur du triangle ; on définit de façon similaire les points PModèle:Ind et PModèle:Ind. Alors le triangle PModèle:IndPModèle:IndPModèle:Ind est appelé triangle de t-Mandart.

Propriétés

• le locus des centres de gravité des triangles de t-Mandart est la droite passant par le centre du cercle circonscrit du triangle de référence et le centre de son cercle inscrit.
• le locus des centres des cercles circonscrits des triangles de t-Mandart est une hyperbole équilatère

Hyperbole de Mandart

Pour tout t, le triangle de t-Mandart est orthologique au triangle de Nagel. Le locus des points de concurrence est une hyperbole équilatère, circonscrite au triangle de Nagel. Gibert est le premier à la nommer hyperbole de Mandart.

Ses asymptotes sont parallèles à celles de l'hyperbole de Feuerbach.

Parabole de Mandart

Pour tout t, le triangle de t-Mandart et le triangle médian sont en homologie. On appelle parabole de Mandart l'enveloppe des axes de ces homologies quand t varie.

Le foyer de cette parabole est le centre de nombre de Kimberling XModèle:Ind et son axe est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et le centre de Spieker du triangle de référence.

Voir aussi

• Ellipse de Steiner
• Éléments remarquables d'un triangle

Liens externes

• Modèle:Mathworld
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