Nombre presque premier

Démonstration par réglettes Cuisenaire que 6 est un nombre presque premier.

En théorie des nombres, un entier n > 0 est dit k-presque premier, pour k ≥ 0, lorsqu'il est le produit d'exactement k nombres premiers.

Formalisation

Un entier n > 0 dont la décomposition en facteurs premiers s'écrit

$n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{{\gamma }_i}$

(où pModèle:Ind = 2 < pModèle:Ind = 3 < pModèle:Ind = 5 < … est la suite des nombres premiers) est dit k-presque premier si son nombre Ω(n) de facteurs premiers (non nécessairement distincts) est égal à k :

$\sum _{i=1}^m{\gamma }_i=k.$

Fonction de compte

Géneralisant le résultat de Hadamard et La Vallée Poussin sur la répartition des nombres premiers, Edmund Landau a démontré le résultat suivant, où ${\pi }_k(x)$ est le nombre d'entiers k-presque premiers inférieurs à x

${\pi }_k(x)\sim \left(\frac{x}{\log x}\right)\frac{(\log \log x{)}^{k-1}}{(k-1)!},$

Exemples

• Les nombres 1-presque premiers sont les nombres premiers.
• Les nombres 2-presque premiers sont les nombres semi-premiers.
• 18 = 2 × 3 × 3 donc 18 est 3-presque premier.
• Le seul nombre 0-presque premier est le produit vide 1.

Remarque

Si l'on note ${𝒫}_k$ l'ensemble des nombres k-presque premiers, alors l'ensemble $\{{𝒫}_k\mid k\in \mathbb{N}\}$ forme la partition de ℕ* associée à la surjection Ω : ℕ* → ℕ.

Voir aussi

• Théorème d'Iwaniec-Richert