Coordonnées tripolaires

En géométrie, les coordonnées tripolaires sont un système de coordonnées du plan par rapport à un triangle donné. Les coordonnées tripolaires d'un point $P$ sont formées par le triplet de distances $(AP,BP,CP)$, mais les coordonnées tripolaires sont rarement utilisées.

Relation avec les longueurs des côtés

Leonhard Euler a montré la relation suivante entre les coordonnées tripolaires $(f,g,h)$ d'un point et les longueurs des côtés $a,b$ et $c$ :

$(-a^2+g^2+h^2{)}^2{f}^2+(f^2-b^2+h^2{)}^2{g}^2+(f^2+g^2+c^2{)}^2{h}^2-(-a^2+g^2+h^2)(f^2-b^2+h^2)(f^2+g^2+c^2)-4f^2{g}^2{h}^2=0$

Cercles et droites

La courbe d'équation $l{f}^2+m{g}^2+n{h}^2+p=0$ est une droite si est seulement si$l+m+n=0$, et sinon un cercle.

• Si l'équation est un cercle, alors le centre du cercle a pour coordonnées barycentriques $(l:m:n)$.
• Si l'équation est une droite, alors cette droite est perpendiculaire à la droite Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle [\ l : m : n\]} en coordonnées barycentriques.

Rapport donné

Le nombre de points qui ont des coordonnées tripolaires $(f,g,h)$, qui pour un point donné vérifient $f:g:h=x:y:z$, dépend des valeurs $ax,by$ et $cz$ :

• si les valeurs forment un triangle, alors il y a deux de ces points ;
• si les valeurs forment un triangle dégénéré, alors il existe un tel point ;
• si elles ne forment pas les côtés d’un triangle, alors aucun point ne remplit la condition.

Liens externes

• Modèle:MathWorld