Préordre de spécialisation

Modèle:Article sans source Modèle:Ébauche Sur un espace topologique $X$, on peut construire un préordre $⪯$ appelé préordre de spécialisation et défini ainsi : pour $x$ et $y$ dans $X$,

$x⪯y\text{si}x\in \overline{\{y\}}.$

(où $\bar{\cdot }$ dénote l'adhérence d'un ensemble)

La justification que cette relation binaire est bien un préordre est donnée plus bas.

C'est une notion utile dans l'étude des axiomes de séparation, typiquement pour les espaces [[Espace T0|TModèle:Ind]]. Mais notons que pour un espace [[Espace T1|TModèle:Ind]], cette notion perd son intérêt : la relation en question n'est alors autre que la relation d'égalité...

Autre définition

La relation binaire de l'énoncé est équivalente à celle-ci :

$\mathrm{\forall }x,y\in X,(x⪯y⟺\overline{\{x\}}\subset \overline{\{y\}})$

Cette seconde définition montre immédiatement que la relation $⪯$ est un préordre (c'est-à-dire qu'elle est réflexive et transitive).

Articles connexes

• Axiomes de séparation (topologie)
• Préordre de spécialisation dans les espaces finis