Factorielle alternée

En mathématiques, la factorielle alternée d'un entier strictement positif $n$ est la valeur absolue de la somme alternée des $n$ premières factorielles.

Définition

La factorielle alternée de $n⩾1$ est définie par :

$\mathrm{fa}(n)=n!-(n-1)!+(n-2)!-\cdots +(-1{)}^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1{)}^i(n-i)!=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{n-i}i!$,

d'où la relation de récurrence :

$\mathrm{fa}(n)=n!-\mathrm{fa}(n-1)$.

Quelle que soit la parité de $n$, $n!$ est affecté du signe plus, $(n-1)!$ du signe moins, etc. Par exemple $\mathrm{fa}(3)=1!-2!+3!$ tandis que $\mathrm{fa}(6)=-1!+2!-3!+4!-5!+6!$.

Les premières factorielles alternées sont données par :

n	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer	Modèle:Centrer
fa(n)	1	1	5	19	101	619	4 421	35 899	326 981	3 301 819	36 614 981	442 386 619	5 784 634 181	81 393 657 019

Propriétés

En 1999, Miodrag Zivkovic prouve qu'il n'existe qu'un nombre fini de factorielles alternées qui sont également des nombres premiers, puisque Modèle:Nombre divise $\mathrm{fa}(3612702)$ et divise donc $\mathrm{fa}(n)$ pour tout $n⩾$ Modèle:Nombre. La factorielle alternée $\mathrm{fa}(n)$ est première pour : $n$ = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661Modèle:,; A noter qu'il existe probablement d'autres valeurs premières qui n'ont pas encore été trouvées.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:MathWorld
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:OEIS de Paul Jobling

Articles connexes

• Série alternée des factorielles