Parenthèses de Lagrange

Les parenthèses de Lagrange sont certaines expressions étroitement liées aux parenthèses de Poisson qui ont été introduites par Joseph Louis Lagrange en 1808-1810 pour les besoins de la formulation mathématique de la mécanique classique, mais contrairement aux parenthèses de Poisson, elles sont tombées en désuétude.

Définition

Supposons que (q₁, ..., q_n, p₁, ..., p_n) soit un système de coordonnées canoniques sur un espace de phase. Si chacune d'entre elles est exprimée comme une fonction de deux variables, u et v, alors le support de Lagrange de u et v est défini par la formule suivante

$$[u,v{]}_{p,q}=\sum _{i=1}^n(\frac{\partial q_i}{\partial u}\frac{\partial p_i}{\partial v}-\frac{\partial p_i}{\partial u}\frac{\partial q_i}{\partial v}).$$

Propriétés

• Les crochets de Lagrange ne dépendent pas du système de coordonnées canoniques ( q, p ). Si ( Q, P ) = ( Q ₁, ..., Q _n, P ₁, ..., P _n ) est un autre système de coordonnées canoniques, de sorte que $$Q=Q(q,p),P=P(q,p)$$ est une transformation canonique, alors le crochet de Lagrange est un invariant de la transformation, dans le sens où $$[u,v{]}_{q,p}=[u,v{]}_{Q,P}$$ Par conséquent, les indices indiquant les coordonnées canoniques sont souvent omis.
• Si Ω est la forme symplectique sur l'espace des phases de dimension 2n W et u ₁,... , u _2n forme un système de coordonnées sur W, la forme symplectique peut s'écrire comme $$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{2}{\mathrm{\Omega }}_{ij}d{u}^i\wedge d{u}^j$$ où la matrice $${\mathrm{\Omega }}_{ij}=[u_i,u_j{]}_{p,q},1\le i,j\le 2n$$ représente les composantes de Modèle:Formule, vues comme un tenseur, dans les coordonnées u . Cette matrice est l'inverse de la matrice formée par les crochets de Poisson $${\left({\mathrm{\Omega }}^{-1}\right)}_{ij}=\{u_i,u_j\},1\le i,j\le 2n$$ des coordonnées u.
• En corollaire des propriétés précédentes, les coordonnées ( Q ₁, ..., Q _n, P ₁, ..., P _n ) sur un espace des phases sont canoniques si et seulement si les crochets de Lagrange entre elles ont la forme $$[Q_i,Q_j{]}_{p,q}=0,[P_i,P_j{]}_{p,q}=0,[Q_i,P_j{]}_{p,q}=-[P_j,Q_i{]}_{p,q}={\delta }_{ij}.$$

Matrice de Lagrange dans les transformations canoniques

Considérez la transformation canonique suivante : $$\eta =\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ ⋮\\ q_N\\ p_1\\ ⋮\\ p_N\end{array}\right]\to \epsilon =\left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ ⋮\\ Q_N\\ P_1\\ ⋮\\ P_N\end{array}\right]$$

Définition $M:=\frac{\partial (𝐐,𝐏)}{\partial (𝐪,𝐩)}$, la matrice de Lagrange est définie comme $ℒ(\eta )=M^{T}JM$, où $J$ est la matrice symplectique sous les mêmes conventions utilisées pour ordonner l'ensemble des coordonnées. Il résulte de la définition que :

$${ℒ}_{ij}(\eta )=[M^{T}JM{]}_{ij}=\sum _{k=1}^N(\frac{\partial {\epsilon }_k}{\partial {\eta }_i}\frac{\partial {\epsilon }_{N+k}}{\partial {\eta }_j}-\frac{\partial {\epsilon }_{N+k}}{\partial {\eta }_i}\frac{\partial {\epsilon }_k}{\partial {\eta }_j})=\sum _{k=1}^N(\frac{\partial Q_k}{\partial {\eta }_i}\frac{\partial P_k}{\partial {\eta }_j}-\frac{\partial P_k}{\partial {\eta }_i}\frac{\partial Q_k}{\partial {\eta }_j})=[{\eta }_i,{\eta }_j{]}_{\epsilon }$$

La matrice de Lagrange satisfait les propriétés connues suivantes : $$\begin{array}{cc}{ℒ}^T& =-ℒ\\ |ℒ|& =|M{|}^2\\ {ℒ}^{-1}(\eta )& =-M^{-1}J(M^{-1}{)}^T=-𝒫(\eta )\\ \end{array}$$ où le $𝒫(\eta )$ est connue sous le nom de matrice de Poisson et dont les éléments correspondent à des crochets de Poisson. La dernière identité peut également être énoncée comme suit : $$\sum _{k=1}^{2N}\{{\eta }_i,{\eta }_k\}[{\eta }_k,{\eta }_j]=-{\delta }_{ij}$$ Notez que la sommation ici implique des coordonnées généralisées ainsi qu’une impulsion généralisée.

L'invariance du support de Lagrange peut être exprimée comme : $[{\eta }_i,{\eta }_j{]}_{\epsilon }=[{\eta }_i,{\eta }_j{]}_{\eta }=J_{ij}$, ce qui conduit directement à la condition symplectique: $M^{T}JM=J$.

Voir aussi

Bibliographie

• Cornelius Lanczos, Les principes variationnels de la mécanique, Douvres (1986),Modèle:ISBN .
• Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange, L'Enseign. Mathématiques. (2) 44 (1998), n° 3-4, 257–277. MR
• Eric W. Weisstein. "Lagrange bracket". MathWorld.

Articles connexes

• Équations de Lagrange
• Mécanique hamiltonienne