Autonombre
En arithmétique, un autonombre ou nombre colombien[1] est un entier naturel qui, dans une base donnée, ne peut pas s'écrire sous la forme d'un nombre ajouté à la somme des chiffres de ce nombre.
- Exemples
- 15 n'est pas un autonombre, puisqu'il peut être généré par la somme de 12 et de ses chiffres : 15 = 12 + 1 + 2.
- 20 est un autonombre car il n'existe pas une telle somme pour 20.
Digitaddition
La notion d'autonombre est introduite en 1949 par le mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar lorsqu'il s'intéresse à une transformation sur les nombres qu'il appelle une digitaddition : ajouter au nombre la somme de ses chiffres.
Par exemple S(21) = 21 + 1 + 2 = 24.
On dit que 24 est généré par 21.
La suite qui à chaque entier naturel associe le nombre de ses générateurs est la Modèle:OEIS.
La suite des entiers strictement positifs qui ont au moins un générateur est la suite Modèle:OEIS2C ; le plus petit entier qui a plusieurs générateurs est 101 = 100 + 1 + 0 + 0 = 91 + 9 + 1.
Kaprekar appelle autonombres les entiers de la suite complémentaire : ceux qui n'ont pas de générateur.
Le fait d'être un autonombre ou non est lié à la base dans laquelle le nombre est écrit. Par exemple, le nombre 11, écrit en base dix, est un nombre généré par 10 alors qu'écrit en base 5 (Modèle:SurlignerModèle:5), il est un autonombre.
Autonombres en base dix
La suite des autonombres en base dix est 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31Modèle:Etc. (Modèle:OEIS). Les seuls inférieurs à 100 sont les entiers impairs inférieurs à 10 et les entiers congrus à 9 modulo 11.
La sous-suite des autonombres premiers est 3, 5, 7, 31, 53, 97, 211Modèle:Etc. (suite Modèle:OEIS2C).
Autonombres en base 2
La relation de récurrence suivante permet de construire une infinité d'autonombres en base 2 (mais pas tous).
- Partant du nombre 1, ajouter le chiffre 1 à gauche dans l'écriture du nombre puis ajouter 1 au nombre obtenu. On obtient successivement 1, 11 + 1 = 110, 1110+1 =1111, 11111+1 = 100000.
Les neuf premiers autonombres en base 2 sont 1, 100, 110, 1101, 1111, 10010, 10101, 10111 et 11110.
En 1982, Modèle:Lien prouve que la densité asymptotique des autonombres en base 2 existe et est strictement positive[2] puis, avec G. Troi[3], qu'elle est égale à
où S est l'ensemble des nombres pouvant s'écrire comme somme de termes distincts de la forme 2Modèle:Exp + 1 avec k entier naturel.
Ils en déduisent que cette densité est un nombre irrationnel et même — en utilisant le théorème du sous-espace de Wolfgang Schmidt — transcendant[4].
Autonombres en base quelconque
Suite récurrente
En toute base b > 2, la suite définie par récurrence ci-dessous produit une infinité d'autonombres en base b (mais pas tous)[1] :
Autonombres en base impaire
En 1973, Joshi prouve que n est un autonombre en base b impaire si et seulement si n est impair[1]. Il est facile de montrer que si n est impair alors n est un autonombre mais la réciproque est plus délicate.
Autonombres en base paire
En 1991, Patel prouve qu'en base b paire supérieure ou égale à 4, les entiers 2b, 4b + 2 et (b + 1)Modèle:2 sont toujours des autonombres[1].
Références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Lien externe
- ↑ 1,0 1,1 1,2 et 1,3 Modèle:MathWorld.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.