Méthode de Tschirnhaus

La méthode de Tschirnhaus, imaginée et mise au point par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, est une tentative de résoudre le point clé de la théorie des équations à savoir trouver une méthode générale de résolution de l'équation polynomiale. Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.

Principe de la méthode

Tschirnhaus rappelle d'abord que toute équation de degré Modèle:Mvar

$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=0$

[[Équation polynomiale#Élimination du terme sous-dominant|se ramène classiquement à une équation sans terme de degré Modèle:Math]], par un changement de variable de la forme $x=y+b_0$. En effet, le coefficient du terme en $y^{n-1}$ du polynôme

$(y+b_0{)}^n+a_{n-1}(y+b_0{)}^{n-1}+\dots +a_1(y+b_0)+a_0$

est $n{b}_0+a_{n-1}$ donc il suffit, pour que ce coefficient soit nul, de choisir $b_0$ égal à $-\frac{a_{n-1}}{n}$.

Cela lui donne l'idée, pour annuler plus de termes, d'introduire une inconnue auxiliaire Modèle:Mvar qui n'est plus une translatée de Modèle:Mvar mais un polynôme, en posant :

$x^k=b_{k-1}{x}^{k-1}+\dots +b_{1}x+b_0+y$

où Modèle:Mvar (strictement inférieur à Modèle:Mvar) est le nombre de termes à annuler, et le choix des coefficients $b_{k-1},\dots ,b_1,b_0$ est expliqué ci-dessous.

Cette transformation se nomme transformation de Tschirnhaus.

En éliminant Modèle:Mvar entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une [[Résultant|équation de degré Modèle:Mvar et d'inconnue Modèle:Mvar dont les coefficients dépendent des Modèle:Mvar coefficients Modèle:Mvar]]. On tente alors de déterminer les coefficients $b_i$ de façon à obtenir une équation en Modèle:Mvar plus simple à résoudre, par exemple (pour Modèle:Math) de la forme :

$y^n-c=0$.

Pour cela, dans l'équation en Modèle:Mvar, on pose égaux à Modèle:Math tous les coefficients des monômes de degré Modèle:Math à Modèle:Math. On obtient ainsi un système de Modèle:Math équations à Modèle:Math inconnues $b_{n-2},\dots ,b_1,b_0$. Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans l'équation :

$x^{n-1}-b_{n-2}{x}^{n-2}-\dots -b_{1}x-(b_0+y)=0$,

où Modèle:Mvar prend successivement pour valeur l'une des Modèle:Mvar [[Racine d'un nombre|racines Modèle:Mvar-ièmes]] de Modèle:Mvar.

Tschirnhaus ramène ainsi (sur l'exemple Modèle:Math) la résolution d'une équation de degré Modèle:Mvar à celle de Modèle:Mvar équations de degré Modèle:Math. Cependant, sa méthode fournit Modèle:Math valeurs pour Modèle:Mvar, qu'il faut tester pour détecter, parmi elles, les Modèle:Mvar solutions effectives. En précisant son idée, on peut trouver directement ces Modèle:Mvar solutions (une par valeur de Modèle:Mvar).

La méthode ci-dessus permet à Tschirnhaus de donner, pour les solutions d'une équation cubique, une nouvelle formule, différente de celle de Cardan. Il retrouve aussi cette dernière par un autre changement de variable : Modèle:Math, réinventant ainsi la substitution de Viète.

Application à la résolution des équations cubiques

Considérons une équation de degré 3, sans perte de généralité de la forme

$x^3+px+q=0$

avec $p\ne 0$. Posons, comme indiqué ci-dessus :

$x^2=ax+b+y$.

Le système

$\{\begin{array}{cc}{x}^3+px+q& =0\\ x^2& =ax+b+y\end{array}$

est équivalent au système

$\{\begin{array}{cc}(a^2+b+y+p)x& =-(q+ab+ay)\\ x^2& =ax+b+y\end{array}$

qui admet des solutions Modèle:Mvar si et seulement si

$(q+ab+ay{)}^2=-a(q+ab+ay)(a^2+b+y+p)+(b+y)(a^2+b+y+p{)}^2$.

Cette condition se réécrit :

$y^3+(3b+2p)y^2+(3b^2+4pb+p^2+p{a}^2-3qa)y+b^3+2p{b}^2+p^{2}b+p{a}^{2}b-3qab-q^2-pqa-q{a}^3=0(*)$.

On détermine Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de façon qu'elle ne contienne plus de terme en Modèle:MvarModèle:2 ni en Modèle:Mvar :

$\begin{array}{cc}& \{\begin{array}{cc}3b+2p& =0\\ 3b^2+4pb+p^2+p{a}^2-3qa& =0\end{array}\\ \iff & \{\begin{array}{cc}b& =-\frac{2p}{3}\\ a& =\frac{3}{p}(\frac{q}{2}+\delta )\text{ avec }{\delta }^2=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}.\end{array}\end{array}$

Ce choix de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar permet de simplifier l'équation $(*)$, qui devient alorsModèle:, :

$y^3={\left(\frac{6\delta }{p}\right)}^3\frac{pa}{3}$.

On termine la résolution en choisissant une racine cubique Modèle:Mvar de $\frac{pa}{3}$, en posant $y_k=\frac{6\delta }{p}z{\mathrm{j}}^k$ pour $k=0,1,2$, et en calculant, pour chacune de ces trois valeurs, les deux solutions de l'équation du second degré $x^2=ax+b+y_k$. On obtient ainsi en général 6 valeurs distinctes, dont les 3 solutions de $x^3+px+q=0$ font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 6 valeurs.

Méthode particulière pour les équations du quatrième degré

Considérons une équation de degré 4, sans perte de généralité de la forme

$x^4+p{x}^2+qx+r=0$

avec $q\ne 0$. Considérons la transformation de Tschirnhaus suivante :

$x^2=ax+b+y$.

Le système

$\{\begin{array}{cc}{x}^4+p{x}^2+qx+r& =0\\ x^2& =ax+b+y\end{array}$

admet des solutions Modèle:Mvar si et seulement si

$y^4+(4b+2p)y^3+A{y}^2+By+C=0(**)$

avec

$A=6b^2+6bp+p{a}^2-3qa+p^2+2r$,

$B=4b^3+6p{b}^2+2b(p{a}^2-3qa+p^2+2r)+2r(2a^2+p)-q(a^3+pa+q)$,

$C=b^4+2p{b}^3+b^2(p{a}^2-3qa+p^2+2r)+b[2r(2a^2+p)-q(a^3+pa+q)]+ar(a^3+pa-q)+r^2$.

L'équation $(**)$ est bicarrée si

$\{\begin{array}{cc}4b+2p& =0\\ B& =0,\end{array}$

ce qui équivaut à

$\{\begin{array}{c}b=-\frac{p}{2}\\ -q{a}^3+(4r-p^2)a^2+2pqa-q^2& =0.\end{array}$

Pour résoudre $x^4+p{x}^2+qx+r=0$, il suffit donc de :

• trouver une solution Modèle:Mvar de l'« équation Modèle:Lien » $-q{a}^3+(4r-p^2)a^2+2pqa-q^2=0$ ;
• calculer Modèle:Mvar et Modèle:Mvar pour ce choix de Modèle:Mvar et pour $b=-\frac{p}{2}$ ;
• trouver les quatre solutions $y_k$ ($k=0,1,2,3$) de l'équation bicarrée $y^4+A{y}^2+C=0$ obtenue ;
• pour chacune de ces quatre valeurs, trouver les deux solutions $x_{k,j}$ ($j=0,1$) de $x^2-ax-b-y_k=0$.

On obtient ainsi 8 valeurs $x_{k,j}$, dont les 4 solutions de $x^3+px+q=0$ font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 8 valeurs.

Équation du cinquième degré

Voir à ce propos l'article Radical de Bring.

Remarque historique

Modèle:Voir Cette méthode est la première méthode générale de résolution des équations à avoir été publiée. Sa publication remonte à 1683.