Méthode LUX de Conway pour les carrés magiques

Modèle:Ébauche La méthode LUX de Conway pour les carrés magiques est, en mathématiques, un algorithme inventé par John Horton Conway pour créer des carrés magiques d'ordre $4n+2$, où $n\in {\mathbb{N}}^{\star }$.

Méthode

On commence par créer un tableau de $2n+1$ cases de côté, en le remplissant comme suit, de haut en bas :

• $n+1$ lignes de L.
• $1$ ligne de U.
• $n-1$ ligne(s) de X.

Puis, on échange le U au milieu de sa ligne avec le L qui le surplombe.

Chaque lettre représentera, dans le carré magique final d'ordre $4n+2$, un bloc carré de 4 cases.

On construit ensuite le tableau final, puis on le parcourt en suivant les cases du tableau « LUX » selon la méthode dite de Siam, permettant de créer de carrés magiques d'ordre impair (or, $2n+1$ est impair) :

• On commence par le milieu de la Modèle:1re. Puis, à chaque itération, en revenant par le bas ou la gauche du carré quand les bords haut ou droit sont dépassés :
• Si la case juste en haut à droite est libre, on s'y déplace.
• Sinon, on se déplace dans la case juste au-dessous de la case actuelle.

On effectue donc ces déplacements sur le tableau « LUX ». À chaque arrivée dans une case de celui-ci, on se reporte ensuite au carré magique final, en repérant les 4 cases correspondant à la case unique de « LUX ». On remplit ensuite ces 4 cases avec les entiers croissants, suivant directement les 4 entiers placés dans le bloc de 4 cases précédent. À noter que le tout premier nombre placé dans le carré magique est 1. L'ordre croissant des 4 entiers remplissant un bloc de 4 cases est déterminé par la lettre présente dans « LUX », en relation avec les schémas de construction suivants :

$\mathrm{L}:\begin{array}{ccc}4& & 1\\ & \swarrow & \\ 2& \to & 3\end{array}\mathrm{U}:\begin{array}{ccc}1& & 4\\ \downarrow & & \uparrow \\ 2& \to & 3\end{array}\mathrm{X}:\begin{array}{ccc}1& & 4\\ & \searrow \nearrow & \\ 3& & 2\end{array}$

Exemple

Prenons par exemple $n=2$. Le tableau « LUX » est de côté 5 :

L	L	L	L	L
L	L	L	L	L
L	L	U	L	L
U	U	L	U	U
X	X	X	X	X

On peut ainsi construire un carré magique d'ordre 10 :

68	65	96	93	4	1	32	29	60	57
66	67	94	95	2	3	30	31	58	59
92	89	20	17	28	25	56	53	64	61
90	91	18	19	26	27	54	55	62	63
16	13	24	21	49	52	80	77	88	85
14	15	22	23	50	51	78	79	86	87
37	40	45	48	76	73	81	84	9	12
38	39	46	47	74	75	82	83	10	11
41	44	69	72	97	100	5	8	33	36
43	42	71	70	99	98	7	6	35	34

Sources

• Modèle:MathWorld.
• Modèle:Ouvrage Modèle:Lire en ligne.